Дослідження методів чисельного інтегрування (49567)

Посмотреть архив целиком

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних

систем управління


Факультет АКСУ
Кафедра АІВТ



Курсова робота

з дисципліни

«Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»


Дослідження методів чисельного інтегрування















2006


Анотація


В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.



1. Теоретичні відомості


У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:



Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].



1.1 Метод прямокутників


Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=xi=xi+1-xi), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:


In=f(x)dxSi=h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]=f(xi);(1.1)


якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:


Iпр=f(x)dxh[f(xn)+...+f(x1)]=f(xi)(1.2)


1.2 Метод трапецій


Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією (x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ Si прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:


Si=h(f(xi)+f(xi+1)).(1.3)


Отже, формула трапеції:


I=Si=h(f(x0)+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xN)= =[(f(x0)+f(xn))+f(xi)].(1.4)


Графічна модель








Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як


(1.5)


Де М2 –максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h-крок обчислень.


1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)


Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою (x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dxSi [1].


Графічна модель.


Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:


Si= [f(xi)+4f(xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто

(y0+4y1+y2),

(y2+4y3+y4),

(y4+4y5+y6), (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(y2n-2+4y2n-1+y2n),


Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто


[y0+y2n+4(y1+...+y2n-1)+2(y2+...+y2n-2)],


або


[y0+y2n+4y2i-1+2y2i],(1.8)


де h =(b-a)/2N.

Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як



де М4 –максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h-крок обчислень.


1.4 Метод Ньютона-Котеса


Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a,b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона - апроксимація параболою.

Основна формула методу:


yiHi,(1.9)


де Hi - коефіцієнти Ньютона - Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона - Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції .

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона - Котеса.


1.5 Метод Чебишева


Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,...,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,...,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона -Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:


cif(xi),(1.10)


в якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, ...,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,...,N)підлягаютьвизначенню.


Таблиця 1.1.

Коефіцієнти Ньютона - Котеса

n = 1

Но = H1 = ½

n = 2

Но = Н2 = 1/6, Н1 = 2/3

n = 3

Н0 = Н3 = 1/8, Н1 = H2 = 3/8

n = 4

Но = Н4 = 7/90, Н1 = Нз = 16/45, Н2 = 2/15

n = 5

Н0 = Н5 =19/288, Н1 = Н4 = 25/96, Н2 = Нз =

= 25/144

n = 6

Но = Н6 = 41/840, Н1 = Н5 = 9/35, Н2 = Н4 = =9/280, Нз = 34/105

n = 7

Но = Н7 = 75І/17280, Н1 = Н6 = 3577/1728О, Н2 = Н5 =1323/1728О, Нз = Н4 = 2989/17280


Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=...=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду:


2Cn[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)],(1.11)


де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.

Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:


f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn.(1.12)


Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про- інтегруємо:


(a0+a1x+a2x2+...+anxn)=2(a0+a2+a3+...).(1.13)


У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,...,xn:


f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n,

f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n,

f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n,(1.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn,


Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:


2(a0+a2+a4+...)=2cn[na0+a1(x1+x2+...+xn)+a2(x12+x22+...+xn2)+

+a3(x13+x23+...+xn3)+...+an(x1n+x2n+...+xnn)].(1.15)


Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a0,a1,...,an; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки


Cn=.(1.16)


і, крім цього,


x1+x2+x3+...+xn=0,

x12+x22+x32+...+xn2=,

x13+x23+x33+...+xn3=0,(1.17)

x14+x24+x34+...+xn4=,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x1n+x2n+x3n+...+xnn=[1-(-1)n+1],


Підставляючи знайдене для Сn виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:


[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)],(1.18)



де точки x1,...,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).

Значення x1,...,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.

Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:


[f(z1)+f(z2)+...+f(zn)],(1.19)

де


Таблиця 1.2.


Число

ординат

Значення абсцис

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

-x1 = x2 = 0.577350

-x1 = x3 = 0.707107; x2 = 0

-x1 = x4 = 0.794654; -x2 = x3 = 0.187592

-x1 = x5 = 0.832498; -x2 = x4 = 0.374541; х3 = 0

-x1 = x6 = 0.866247; -x2 = x5 = 0.4225І9; -x3 = x4 = 0.266635

-x1 = x7 = 0.883862; -x2 = x6 = 0.529657; -x3= = x5 = 0.323912; x4 = 0






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.