Решение прикладных задач численными методами (48818)

Посмотреть архив целиком

Кафедра №83

информатики и вычислительной математики

Дисциплина: «ИНФОРМАТИКА»









КУРСОВАЯ РАБОТА


Тема: «Решение прикладных задач численными методами»















Москва 2009 г.


ЦЕЛЬ РАБОТЫ:


Получение практических навыков по применению численных методов при решении прикладных задач на ЭВМ общего назначения, с использованием программ сложных циклических алгоритмов, включая редактирование программ в ЭВМ, отладку программ, выполнение расчетов на периферийные устройства.


Время: 12 часов.


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


Работа состоит из 2-х частей.

Цель первой части курсовой работы: получить практические навыки в использовании численных методов решения не линейных уравнений используемых в прикладных задачах.

Для выполнения 1 части работы необходимо:

  • Составить программу и рассчитать значения функции в левой части нелинейного уравнения для решения задачи отделения корней;

  • Составить логическую схему алгоритма, таблицу идентификаторов и программу нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом, указанным в таблице;

  • Ввести программу в компьютер, отладить, решить задачу с точностью ε=0,0001 и вывести результат;

  • Предусмотреть в программе вывод на экран дисплея процессора получения корня.

Задание на выполнение первой части курсовой работы:


Вариант №21.


Уравнение: 0,25x3+x-1,2502=0:


Отрезок, содержащий корень: [0;2].


  1. Математическое описание численных методов решения

Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии).


Этот метод позволяет отыскать корень уравнения с любой наперёд заданной точностью εε . искомый корень x уравнения уже отделен, т.е.указан отрезок [а, в] непрерывности функции f(x) такой, что на концах этого отрезка функция f(x) принимает различные значения:


f(a)*f(b)>0


В начале находится середина отрезка [ a, b ]:

и вычисляется значение функции в точке с, т.е. находится f(c). Если f(c)=0, то мы точно нашли корень уравнения. Если же f(c)≠0 ,то знак этой величины сравнивается со знаками функции y= f(x) в концах отрезка [ a, b ]. Из двух отрезков [ a, с], [ с, b ] для дальнейшего рассмотрения оставляется тот, в концах которого функция имеет разные знаки. С оставленным отрезком поступаем аналогичным образом. расчет прекращается, когда оставленный отрезок будет иметь длину меньше 2ε. В этом случае принимаем за приближенное значение корня середину оставленного отрезка и требуемая точность будет достигнута.


  1. График функции.


Для выделения корней рассчитаем значения функции на заданном отрезке [0,2] с шагом 0,0001 и по полученным данным построим график функции.



Как видно из рисунка график пересекает ось Х один раз, следовательно, на данном отрезке [ 0, 2] наше уравнение имеет один корень.



Алгоритмы нахождения корней уравнения


I. Cтруктурная схема алгоритма: Метод дихотомии








f(a0), f(b0)




n=0





C=an+bn

2





да

нет




нет


да

x=c





an+1= c ; bn+1= bn


an+1=an ; bn+1=c






n=n+1




да


нет




X=an+bn

2














Листинг программы имеет вид


#include<stdio.h>

#include<math.h>

double f(double x)

{

return 0.25*(pow(x,3))+x-1.2502;

}

int main(void)

{

int n=0;

double x,a=0.,b=2.,eps=0.0001;

while (fabs(a-b)>2*eps)

{

x=(a+b)/2,

n++;

printf("step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,x,f(x));

if (f(x)==0)

{

printf("Tothnii koreni x=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n",x,n);

return 0;

}

else if (f(a)*f(x)<0) b=x;

else a=x;

}

printf("Reshenie x=%11.8lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n",x,eps,n);

return 0;

}


Метод хорд:


1. Этот метод заключается в том, что к графику функции проводится хорда. Находим точку пересечения с осью OX и опускаем из этой точки прямую параллельную OY. Из точки пе-ресечения прямой и графика проводим хорду и операция повторяется до тех пор, пока точка пересечения хорды с осью OX не приблизиться к корню функции до заданной погрешности.

Шаг первый:

Нас интересует точка пересечения с осью ОХ.

Сделаем допущение: х=x1

y=0

Введем обозначение

x0

f()=f(x0)

Подставим в уравнение

Отсюда

x1=x0-

Шаг второй:

x2=x1-


Для n-го шага:

xn=xn-1-

Условием нахождения корня является:


2. Нелинейное уравнение и условие его решения: 0,25x3+x-1,2502=0:


3. График функции:



4. Схема алгоритма:



1




2



3




4



5



6





7


да

нет




8




9




10




11

12






5. Таблица идетификаторов:


Обозначение

Идентификатор

Тип

n

n

int

a

double

b

double

eps

double

x

x

double

f(x)

f(x)

double



6. Листинг программы:


#include

#include

double f(double x)

{

return 0.25*(pow(x,3))+x-1.2502;

}

int main(void)

{

FILE*jad;

jad=fopen("D:text.txt","w");

int n=0;

double x,a=0,b=2.,eps=0.0001,xn;

xn=a;

while (fabs(xn-x)>eps)

{

x=xn;

n++;

xn=x-f(x)*(b-x)/(f(b)-f(x));

printf("step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,xn,f(xn));

fprintf(jad,"step=%3i x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,xn,f(xn));

}

printf("pribligennoe znathenie x=%lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iterasii n=%i\n",xn,eps,n);

fprintf(jad,"pribligennoe znathenie x=%lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iterasii n=%i\n",xn,eps,n);

fclose(jad);

return 0;

}

7. Листинг решения:



Анализ результатов:



метод дихотомии

метод хорд

значение корня

-0.28766

-0.287700

значение функции

-0.000045

-0.00002140

количество итераций

13

6


Вывод: Метод дихотомии прост в реализации, но обладает малой скоростью сходимости по сравнению с методом хорд, что выражается в количестве шагов. Метод хорд к тому же обладает большей точностью.


Часть 2


Использование численных методов решения дифференциальных уравнений для тактико-специальных задач


Вариант №21.


Задание на выполнения второй части курсовой работы:


Дифференциальное уравнение:


Точное решение уравнения:


Начальные условия: x0 = 0 , y0 =0, xmax=2.


Метод решения: метод Эйлера-Коши, Δx = 0,01; 0,005; 0,001.


Метод Эйлера-Коши

Метод Эйлера-Коши (или усовершенствованный метод Эйлера) является методом второго порядка и заключается в следующем. Интегральная кривая на каждом шаге интегрирования заменяется прямой с тангенсом угла наклона, равным среднему арифметическому тангенсов углов наклона касательных к искомой функции в начале и в конце шага. Вычисления проводятся в следующем порядке:

  1. Выбираем шаг интегрирования .

  2. Полагаем номер шага .

  3. Вычисляем , находим оценку для приращения функции на этом шаге методом Эйлера , , вычисляем среднее арифметическое тангенсов углов наклона и окончательно получаем:

.

  1. Если , то увеличиваем номер шага на единицу и повторяем п.3. В противном случае переходим к выполнению п.5.

  2. Оформляем полученный результат.

Достоинство метода – более высокая точность вычисления по сравнению с методом Эйлера. Недостаток – больший объем вычислений правых частей.


Таблица идентификаторов:

Обозначение

Идентификатор

Тип

s

s

int

i

i

int

x

x

float

xmax

x_max

float

x1

x1

float

Δx

h[i]

float

y

y

float

d

d

float

f(x)

f(x)

float

k

k(x,y)

float

K1

f1

float

K2

f2

float

K3

f3

float

K4

f4

float



Схема алгоритма:





























6. Листинг программы:


#include<stdio.h>

#include

int s,i;

double x, x1, x_max=2, y, d, q;

double h[3]={0.01,0.005,0.001};

double k(double x,double y )

{

return ((x)/(4+(pow(x,4))));

}

double e(double x)

{

return 0.25*atan(pow(x,2)/2);

}

double f1=k(x,y);

double yw=y+f1*h[i];

double r=x+h[i];

double fl=k(r,yw);

int main(void)

{

FILE*sev;

sev=fopen("E:result34.xls","w+");

for (i=0;i<=2;i++)

{

s=0; y=0;

fprintf(sev,"h(%i)=%lf\n",i,h[i]);

for(x=0;x<=x_max;x+=h[i])

{

s++;

x1=x+h[i];

y+=(f1+fl)*h[i]/2;

d=y-e(x1);// y- pribl. f(x)- tochnoe

printf(" step =%4.i x=%6.4lf \ty=%6.4lf yt=%6.4lf d=%10.8f\n",s,x1,y,e(x1),d);


fprintf(sev," \t step =\t%4.i\t x=\t%10.5lf\t y=\t%10.5lf\t yt=\t%10.5lf\t d=\t%10.5f\n",s,x1,y,e(x1),d);

}

}

fclose(sev);

return 0;

}






Вывод:

Интегрированная среда Visual С позволяет обрабатывать программы, записанные на языке С++ . Для программирования циклических алгоритмов были использованы операторы организации циклов с параметрами, решение использует форматируемый вывод и оператор присваивания, а также использовались операторы вызова функций. Чем больше шаг, тем точнее вычисления.



Случайные файлы

Файл
126370.rtf
117744.rtf
29711-1.rtf
3389-1.rtf
8854.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.