Решение линейных интегральных уравнений (48812)

Посмотреть архив целиком

Федеральное агентство по образованию

Тульский Государственный педагогический университет

имени Л. Н. Толстого

Кафедра информационных технологий







Курсовая работа

Решение линейных интегральных уравнений




студента 4 курса группы В

специальности 351500 – МОиАИС

Селиванова Сергея Валериевича










Тула – 2008


Оглавление


Введение

1. Теоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений

2. Практическая часть по решению линейных интегральных уравнений

Заключение

Используемые источники



Введение


В данной курсовой работе рассмотрена проблема решения линейных интегральных уравнений. Целью курсовой работы было написание функции, которая по введенным данным (ядру интегрирования, правой части уравнения и отрезку интегрирования) могла бы находить решения линейного интегрального уравнения. Проблема разработки алгоритма решения и написании на его основе функции является практически актуальной, так как решение линейных интегральных уравнений без привлечения ЭВМ является достаточно трудоемким.

Данная курсовая работа состоит двух частей.

В первой части приведена теоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений, включающая основные леммы и теоремы по теме данной курсовой, дающие научную основу для разработки алгоритма решения линейных интегральных уравнений и написании на его основе функции.

Во второй главе приводится алгоритм решения линейного интегрального уравнения и, написанной на его основе, функции.



1. Теоретическая часть по решению линейных интегральных уравнений


Существует множество методов решений линейных интегральных уравнений. Рассмотрим один из них – метод итераций.

Рассмотрим краткое уравнение Фредгольма второго рода:


(1)


Будем предполагать, что свободный член и ядро этого уравнения принадлежат соответствующим классам и . Уравнение (1) будем также записывать кратко в виде


, (2)


где интегрирование распространенно на единичный r-мерный куб Gr.

Лемма 1. Если


и (3)


то при решение уравнения (2) удовлетворяет соотношению


,


где функция определена равенством



(4)


Принадлежит классу.

Доказательство.

Известно, что при достаточно маломλ решение уравнения (2) можно представить в виде ряда


где Grv-единичный rv-мерный куб. пусть величина Rn определена равенством


.


Тогда пользуясь определением функции F(P,Q1,…,Qn) получим


(5)


Обозначим через С(m1,…,mr) коэффициенты Фурье функции f(P). Так как, по условию, f(P) , то



Аналогичная оценка справедлива, очевидно, и для ядра K(P,Q) уравнения (2) .

Но тогда



и, следовательно,



получим


,

.


Отсюда в силу (5) следует первое из утверждений леммы:


.


Перейдем теперь к доказательству второго утверждения. Так как f(P) и K(P,Q),то, аналогично рассуждениям леммы 12 (1, с.61) легко показать, что


(6)


Где,



В отличие от остальных сомножителей, первый сомножитель в соотношении (6) рассматривается как функция r переменных, соответствующих величине Q1, а не как функция всех своих переменных.

Далее, рассматривая каждую из функций (v=1,2,…,n)

Как функцию всех rn переменных, соответствующих n величинам Q1,…,Qn, согласно первому утверждению леммы 12 (1, с.61) получим, что функция принадлежит классу

, где


.


Но в силу (6)



и, следовательно,


.


Чем лемма 1 доказана полностью.

Пусть, как и выше f(P) и K(P,Q),


(7)


и величина γ0 определена равенством (3)

Покажем, что для приближённого решения уравнения (7) можно использовать квадратные формулы с неравномерными сетками.

Теорема 1. Пусть p- простое число, N=p, и величина n определена равенством



Тогда при произвольно малом ε для решения уравнения (7) выполняется асимптотическое равенство



где



Доказательство.

Пусть функция Φ принадлежит классу и σ-сумма модулей её коэффициентов Фурье. Тогда согласно теореме 15 (1, с.94) справедлива квадратурная формула


, (8)


где


(9)


Выберем в лемме 1 . Тогда при для решения уравнения получим


(10)


где согласно (4)функция F(P,Q1,…,Qn) определена равенством F(P,Q1,…,Qn)=и принадлежит классу.

Пусть при k=1,2,…,N и v=1,2,…,n точки Mk,v определены равенством


.


Выберем p настолько большим, чтобы выполнялись неравенства n≥1 и Nrn

Тогда применяя квадратичную формулу (8) получим



(11)


где в силу (9)


(12)


Пользуясь определением n и , получим


.

.


Следовательно,


, , .


В силу (12)



Но тогда из (10) и (11) следует, что




Отсюда, пользуясь оценкой


,


получаем утверждение теоремы.

Результат, полученный в теореме 1, можно усилить, если воспользоваться методом оптимальных коэффициентов.

Лемма 2. Для всякого простого p существуют оптимальные коэффициенты a1,…,as такие, что каково бы ни было a>1+ε1, при любом ε1(0;1) выполняется оценка



Доказательство.

Пусть z-произвольное целое из интервала Определим функцию Тs(z) равенством



Пусть при z=a достигается минимум этой функции. Тогда, очевидно,



(13)


Так согласно лемме 1(1, с.21)


,


то при произвольном ε > 0 получим из (13),



Отсюда следует, что


(14)


Введём обозначения



Так из (14) в силу определения величины Ts(a) следует оценка


(15)


то пользуясь неравенством, получим