Решение задач нелинейного программирования (48798)

Посмотреть архив целиком

Министерство науки и образования Республики Казахстан

Талдыкорганский политехнический колледж









Курсовая работа



По предмету:

«Моделирование производственных и экономических процессов»


На тему:

«Решение задач нелинейного программирования»











г. Талдыкорган 2007 г.


Введение


Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторой функции многих переменных f (x1, x2,…, xn) при ограничениях gi (x1, x2,…, xn) bi, где gi – функция, описывающая ограничения, а bi – действительное число, i = 1,…, m. Функция f называется функцией цели (целевой функцией).

В общем, виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального (минимального) значения функции f(x1, x2, …, xn) при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям:



где f и g – некоторые известные функции n переменных, а bi – заданные числа.

В результате решения задачи будет определена точка Х*= (x1*, x2*, …, xn*), координаты которой удовлетворяют соотношениям и такая, что для всякой другой точки Х= (x1, x2, …, xn), удовлетворяющей условиям, выполняется неравенство f (x1*, x2*, …, xn*) ≥ f (x1, x2, …, xn) [f (x1*, x2*, …, xn*) ≥ f (x1, x2, …, xn)].

Если f и gi – линейные функции, то задача является задачей линейного программирования.

Соотношения образуют систему ограничений и включают в себя условия не отрицательности переменных, если такие условия имеются. Условия неотрицательности переменных могут быть заданы и непосредственно.

В евклидовом пространстве Еn система ограничений определяет область решений задачи. В отличие от задачи линейного программирования она не всегда является выпуклой.

Если определена область допустимых решений, то нахождение решения задачи сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наименьшего) уровня: f (x1, x2, …, xn) = h. Указанная точка может находиться как на границе области допустимых решений, так и внутри неё.

Процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования с использованием ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

  1. Находят область допустимых решений задачи, определяемую соотношениями (если она пуста, то задача не имеет решения).

  2. Строят гиперповерхность f (x1, x2, …, xn) = h.

  3. Определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности функций сверху (внизу) на множестве допустимых решений.

  4. Находят точку области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхности наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют в ней значение функции.

Или приводят задачу нелинейного программирования к задаче линейного программирования и решают нижеизложенными способами.

Задача является задачей линейного программирования, а следовательно, ее решение можно найти известными методами: 1) графический; 2) табличный (прямой, простой) симплекс – метод; 3) метод искусственного базиса; 4) модифицированный симплекс – метод; 5) двойственный симплекс – метод.



1. Табличный симплекс-метод


Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида «меньше либо равно», а компоненты вектора b – положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему:

1. Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

2. Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки» равно "или" больше либо равно», то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

3. Формируется симплекс – таблица.

4. Рассчитываются симплекс – разности.

5. Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

6. При необходимости выполняются итерации.

7. На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана – Гаусса или каким-нибудь другим способом.


2. Метод искусственного базиса


Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков «равно» больше либо равно» меньше либо равно и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами, а в задачи минимизации – с положительными. Таким образом, из исходной задачи получается новая задача.

Если в оптимальном решении – задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении – задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.


3. Модифицированный симплекс-метод


В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры, которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Способность хороша для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс – разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана – Гаусса. Особенности заключаются в наличии двух таблиц – основной и вспомогательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

Зная оптимальный план этой задачи, на основе соотношений получаем оптимальный план исходной задачи.

Таким образом, процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования включает следующие этапы:

  1. Первоначальную задачу сводят к задаче линейного программирования.

  2. Находят решение линейной задачи

Используя соотношения, определяют оптимальный план исходной задачи и находят максимальное значение целевой функции нелинейной задачи.


Первый этап: Получение задания к курсовой работе


1. Все числовые данные, касающиеся предполагаемых производственных и экономических процессов, берутся на основе шестизначного шифра:

9 5 5 8 7 2

Под каждую цифру записываются буквы a, b, c, d, e, f в следующем виде:

9 5 5 8 7 2

а b c d e f

из последней строки таблицы индивидуальных заданий находим столбцы соответствующие буквам a, b, c, d, e, f. Тогда числовыми данными, необходимыми для выполнения данной курсовой работы, будут данные находящиеся в а – том столбце в строке 9, b – том столбце в строке 5, c – том столбце в строке 5, d – том столбце в строке 8, e – том столбце в строке 7и f – том столбце в строке 2.

По таблице исходных заданий для любого варианта заданий по столбцу а исполнитель получает вариант выполняемого задания. В моем случае для цифры 9 соответствует вариант 9.

На некотором заводе производится три вида продукта и при этом расходуется два вида ресурсов. Производственная функция каждого вида продукта на предприятии опишется равенствами:



где Сi и - постоянные величины, i = 1, 2, 3;

X1 – трудовые ресурсы в человеко-днях;

Х2 – денежно-материальные средства, в тенге;

Уi – получаемый продукт

Х1 = а1х1 + b1x2 + c1x3

Х2 = а2х1 + b2x2 + c2x3

Найти все неотрицательные базисные решения и определить оптимальный план F = y1 + y2 + y3.

Известно, что продукт для производства j – того вида затрачивается aij единиц i – того ресурса. Эти затраты даются в таблицах 3.9.1. – 3.9.10

Последующие числовые данные берутся только из таблицы исходных данных выбранного варианта задания т.е. из таблицы №3.9.11.

2. По столбцу таблицы №3.9.11 для строки 8 исходной таблицей затрат единиц ресурса, будет таблица №3.9.4 т.е. следующая таблица:


Продукты ресурсы

1

2

3

I

8

4

6

II

160

240

200


3. По столбцу cна 3 строке находим с1=6, α1=0,6

4. По столбцу d – на 5 строке определяем с2=5, α2=0,5

5. По столбцу e – по 4 строке установим, что с3=8, α3=0,4.

6. И наконец по столбцу f – в 1 строке найдем Тчел.дней =1000, Птенге = 280000

Для производства имеются трудовые ресурсы Тчел.дней и денежно-материальные средства Птенге.

Требуется найти оптимальный план выпуска продукции, при котором выпускаемый продукт будет наибольшим.


Случайные файлы

Файл
4245.rtf
164568.rtf
169316.rtf
3318-1.rtf
61072.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.