ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции (47519)

Посмотреть архив целиком

СОДЕРЖАНИЕ


Введение

1. Постановка задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Понятие гамма-функции

2.2 Вычисление гамма функции

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

4. Программная реализация решения задачи

5. Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы



ВВЕДЕНИЕ


Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относится гамма функции Эйлера.

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:


.


Гамма-функция расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Через гамма-функции выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов.



1. Постановка задачи


Требуется реализовать основные способы вычисления гамма-функции:

1. Гамма-функции для целых положительных n равна


Г (n) = (n - 1)! = 1·2... (n - 1). (1)


2. Для x>0 гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.


. (2)


3. Гамма-функции для ряда точек:


(3)


Пример 1.

Вычислить гамма-функции Г(6).

Решение:

Так как 6 – положительное целое число, воспользуемся формулой (1):


Г(6) =(6-1)! = 5! = 120


Ответ: 120.

Пример 2.

Вычислить гамма-функции Г(0,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (2):


.

.

Ответ: .


Пример 3.

Вычислить гамма-функции Г(1,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (3):


y = 1.5 + 2 = 3.5.

.

Ответ: .



2. Математические и алгоритмические основы решения задачи


2.1 Понятие гамма-функции


Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода


(a) = (2.1)


сходящийся при .


Рисунок 1. График гамма-функции действительного переменного


Положим =ty, t > 0 , имеем


(a) =


и после замены , через и t через 1+t ,получим




Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем:



или после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:



откуда


(2.2)


заменяя в (2,1) , на и интегрируем по частям



получаем рекурентною формулу


(2.3)


так как




Рисунок 2. График модуля гамма-функции на комплексной плоскости


При целом имеем


(2.4)


то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал, порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем



2.2 Вычисление гамма функции


Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация логарифма гамма-функции. Сама же гамма вычисляется через него.

Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется формула (для комплексных z) такого вида:


.


Она похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности eps не превышает . Кроме того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: Re z > 0.

Для получения действительной гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Gam(z+1)=z*Gam(z) и вышеприведенная аппроксимация Gam(z+1). Также можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.

Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции – логарифма, а не двух – экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция – быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации LnGam() – логарифма гамма-функции – получается формула:



Значения коэффициентов Ck являются табличными данными (Таблица 1).


k

C

1

2.5066282746310005

2

1.0000000000190015

3

76.18009172947146

4

-86.50532032941677

5

24.01409824083091

6

-1.231739572450155

7

0.1208650973866179e-2

8

-0.5395239384953e-5

Таблица 1. Значения коэффициентов Ck


Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты. .



3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи


Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3, 4, 5, 6.

Условные обозначения:

  • X – параметр функции;

  • RS – инкремент;

  • GN – список коэффициентов;

  • Y – вспомогательная переменная;

  • RES – результат вычисления гамма-функции;

  • GAM – временная переменная, содержащая вычисление гамма-функции.


Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA


Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA_ WHOLE


Рисунок 5 – Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_LN



Рисунок 6 – Блок-схема решения задачи для поиска логарифма гамма-функции GAMMA_POINT



4. Программная реализация решения задачи


;СПИСОК КОЭФФИЦИЕНТОВ

(SETQ CN '(2.5066282746310005 1.0000000000190015 76.18009172947146 -86.50532032941677 24.01409824083091

-1.231739572450155 0.1208650973866179e-2 -0.5395239384953e-5))

;ЛОГАРИФМ ГАММА ФУНКЦИИ

(DEFUN GAMMA_LN (X)

(SETQ SER (CADR CN))

(SETQ L (CDDR CN))

(SETQ Y X)

(DO

((J 2))

((>= J 8))

(SETQ Y (+ Y 1))

(SETQ CO (CAR L))

(SETQ SER (+ SER (/ CO Y)))

(SETQ L (CDR L))

(SETQ J (+ J 1))

)

(SETQ Y (+ X 5.5))

(SETQ Y (- Y (* (+ X 0.5) (LOG Y))))

(SETQ Y (+ (* -1 Y) (LOG (* (CAR CN) (/ SER X)))))

)

;ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ЛОГАРИФМ

;ГАММА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

(DEFUN GAMMA (X)

(EXP (GAMMA_LN X))

)

;ГАММА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

(DEFUN GAMMA_WHOLE (X)

(SETQ X (- X 1))

(DO

((RES 1) (RS 1))

((EQL X 0) RS)

(SETQ RS (* RES RS))

(SETQ X (- X 1))

(SETQ RES (+ RES 1))

)

)

;ГАММА ДЛЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК

(DEFUN GAMMA_POINT (X)

(IF (> X 0)

(PROGN

(SETQ Y (+ X 2))

(SETQ GAM (* (SQRT (* 2 (/ PI Y))) (EXP (+ (* Y (LOG Y)) (- (/ (- 1 (/ 1 (* 30 Y Y))) (* 12 Y)) Y)))))

(SETQ RES (/ GAM (* X (+ X 1))))

)

;ИНАЧЕ

(PROGN

(SETQ J 0)

(SETQ Y X)

(DO

(())

((>= Y 0))

(SETQ J (+ J 1))

(SETQ Y (+ Y 1))

)

(SETQ GAM (GAMMA_POINT Y))

(DO

((I 0))

((>= I (- J 1)))

(SETQ GAM (/ GAM (+ X I)))

(SETQ I (+ I 1))

)

(SETQ RES GAM)

)

)

RES)

;ПОЛУЧАЕМ ЭЛЕМЕНТ ФУНКЦИИ

(SETQ FUNC 0)

(SETQ INPUT_STREAM (OPEN " D:\GAMMA.TXT" :DIRECTION :INPUT))

(SETQ FUNC (READ INPUT_STREAM))

(CLOSE INPUT_STREAM)

;РЕЗУЛЬТАТ ГАММА-ФУНКЦИИ

(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:\RESULT.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

(PRINT 'RESULT_OF_GAMMA_FUNCTION OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA FUNC) OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_WHOLE FUNC) OUTPUT_STREAM)

;ПРИМЕНЯЕМ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ

(PRINT (MAPCAR 'GAMMA_POINT FUNC) OUTPUT_STREAM)

(TERPRI OUTPUT_STREAM)

(CLOSE OUTPUT_STREAM)

;END


5 Пример выполнения программы


Пример 1.


Рисунок 7 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел


Рисунок 8 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных целых чисел


Пример 2.



Рисунок 9 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел



Рисунок 10 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для положительных чисел


Пример 3.


Рисунок 11 – Входные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел


Рисунок 12 – Выходные данные. Вычисление гамма-функции для множества чисел



ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель реализации основных способов вычисления гамма функции. Данная модель применима к гамма-функции с положительным целым параметром, гамма-функции с положительным параметром, гамма-функции для множества точек. Созданная функциональная модель реализации основных способов вычисления гамма функции и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы


  1. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.


Случайные файлы

Файл
132734.rtf
SA.DOC
108523.rtf
177837.rtf
55285.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.