Готовый вариант 13 (К1)

Посмотреть архив целиком

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ



Факультет автоматики и вычислительной техники


Кафедра ТиСМ







Задание К1: Определение скорости и ускорения

точки по

заданным уравнениям ее движения




Шифр 62 вариант 13







Выполнил студент гр. У-32 Ребяков А. А.


Проверила Заикина В. З.








Киров 2002

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.


Исходные данные:

x=5cos(t2/3); y= -5sin(t2/3); (1)

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

x2 + y2 = (5cos(t2/3))2 + (-5sin(t2/3))2;

Получаем x2 + y2 = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

(2)

Вектор ускорения точки

Здесь Vx , Vy , ax, ayпроекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)

(3)

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=(Vx2 + Vy2); (4)

и модуль ускорения точки:

а =х2у2). (5)

Модуль касательного ускорения точки

а=|dV/dt|, (6)

а= |(Vxax+Vyay)/V| (6’)

Знак + при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

ап= V2/p; (7)

p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

an =2 -a2); (8)

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V2/ an. (9)

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

х

у

Vx

Vy

V

ax

ay

a

a

an

p

2.5

-2.53

-5/3

-5/3

10/3

-20.04

13.76

24.3

10.5

21.9

5


Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.






Дополнительное задание:

z=1.5t x=5cos(t2/3); y= -5sin(t2/3);

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).


Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=(Vx2 + Vy2+Vz2);

и модуль ускорения точки:

а =х2у2+ аz2).

V=;

a=24.3 см/с;

Касательное ускорение точки

а= |(Vxax+Vyay+ Vzaz)/V|

a=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

an =2 -a2);

an=21.98 см/с2.

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V2/ an. р=5.1 см

Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

x

y

z

Vx

Vy

Vz

V

ax

ay

az

a

a

an

p

2.5

-4.33

1.5

-9.07

-5.24

1.5

10.58

-20.04

13.76

0

24.3

10,36

21.98

5.1



Случайные файлы

Файл
3739-1.rtf
62329.rtf
151549.rtf
113627.rtf
85136.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.