Условия к ДЗ 1-4 (Задача 3-1 3-2)

Посмотреть архив целиком

КОЛЕБАНИЯ


В данных методических указаниях рассматриваются свободные затухающие механические колебания различных механических систем (МС), которые наиболее близки к реальным колебательным системам (КС). Например, МС, состоящая из двух, трёх и более шариков массой m каждый, соединённых упругими пружинами с жёсткостью k каждая, с достаточно хорошим приближением моделирует колебания молекулы, состоящей из двух, трёх и более атомов, соединённых упругими связями.

В качестве примера рассмотрим МС, состоящую из двух шариков m1 и m2 , соединённых упругой пружиной длиной l0 и жёсткостью k (см. рис. 18). Такая МС неплохо моделирует некоторую молекулу, состоящую из двух разных атомов, соединённых упругой связью.

Рис. 18

Чтобы исключить влияние силы тяжести на данную МС, будем рассматривать движение этой системы на горизонтальной плоскости. При этом трением шариков об эту плоскость будем пренебрегать. Поскольку данная МС является замкнутой, то колебания этих шариков вдоль линии О1 О2 , проходящей через центры шариков, можно рассматривать как колебания каждого шарика относительно неподвижного центра масс МС (т. С). В этом случае круговые (циклические) частоты колебаний 1-го и 2-го шариков будут равны и соответственно будут определять частоту колебаний МС Данный тезис подтверждается соответствующими расчётами. Из формулы, определяющей координату центра масс МС, получаем следующие равенство:

(3.1)

где r1 и r2 – радиусы 1-го и 2-го шариков. В дальнейшем будем полагать, что и тогда вместо (3.1) получаем:

(3.2)

Поскольку , то в соответствии с (3.2) находим величины:

Известно, что жёсткость пружины обратно пропорциональна её длине. Поэтому можно написать, что

(3.5)

где const зависит от упругих свойств материала пружины и её геометрии, k1 и k2 – это жёсткости левой и правой частей пружины, определяемых соответственно длинами l10 и l20 . Что касается циклических частот колебаний 1-го и 2-го шариков, то они, согласно (3.5), будут равны:

Поскольку формула (3.2) остаётся справедливой в любой момент времени, то из (3.6) и (3.7) следует, что

(3.8)

Если подставить (3.3) в (3.6), а (3.4) в (3.7), то с учётом (3.8) получаем формулу, определяющую круговую частоту колебаний рассматриваемой МС:

Величина

в формуле (3.9) называется приведённой массой КС. Следовательно, круговая частота данной КС запишется так:

В этом случае задачу о колебаниях двух шариков можно свести к задаче колебания классического пружинного осциллятора с приведённой массой μ.

В частности, при , согласно (3.10) и (3.11) получаем, что

Из (3.12) видно, что частота колебаний одинаковых шариков соединённых пружиной в раз больше частоты колебаний одного шарика на такой же пружине.

На рис. 19, 20 представлены конструктивные схемы МС, состоящих из трёх одинаковых шариков массой m каждый, соединённых тремя пружинами жёсткостью k каждая. На рис. 19 шарики расположены в вершинах равностороннего треугольника, а на рис. 20 шарики вместе с пружинами образуют правильную трёхлучевую звезду с центром в т. О.

Рис.19 Рис.20

Данные МС можно рассматривать как модели трёхатомных молекул, соединённых между собой упругими связями. Так же, как в предыдущей задаче, будем рассматривать движение этой МС на горизонтальной плоскости, а трением шариков об эту плоскость будем пренебрегать.

Требуется определить собственную частоту колебаний каждой МС при условии, что шарики будут совершать малые синхронные колебания с соблюдением условий центральной симметрии.

Движение шариков МС на рис. 20 будет происходить вдоль лучей звезды, так что три шарика в любой момент времени будут находиться на одинаковом расстоянии от центра масс МС (т.О) и будут образовывать подобные геометрические фигуры.

Шарики МС на рис.19 также будут двигаться вдоль лучей, исходящих из центра (т.О). При этом исходная форма равностороннего треугольника этой МС будет сохраняться в любой момент времени, а изменяться будут только размеры треугольника (подобие треугольников сохраняется).

В обеих задачах при движении шариков из положения равновесия к центру пружины сжимаются, а при движении от центра пружины растягиваются. Но центры масс МС (т.О) на рис. 19,20 остаются при любых движениях шариков неподвижными. Поэтому частоты колебаний МС будут равны частотам колебаний каждого отдельного шарика.

Итак, собственная круговая частота свободных незатухающих колебаний МС на рис. 20 будет равна

Несколько сложнее дело обстоит с МС на рис. 19. Определим частоту этой МС, используя закон сохранения механической энергии. На рис. 21 представлена схема треугольной МС при её расширяющимся движении.

Рис.21

Обозначим через изменение длины каждой пружины, которое, согласно рис. 21, будет равно

(3.14)

где x – это смещение шарика относительно его положения равновесия вдоль линии движения. Поскольку каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°, то угол α на рис. 21 будет равен α=30°. А так как , то поэтому вместо (3.14) следует написать

(3.15)

Полная механическая энергия всей МС в произвольный момент времени будет равна

После подстановки (3.15) в (3.16) получаем:

Поскольку Е, согласно (3.17), не зависит от времени, то поэтому производная от энергии по времени будет равна:

Подставляя (3.17) в (3.18) приходим к уравнению следующего вида:

Так как в общем случае , то поэтому выражение, стоящее в скобках, должно быть равно нулю. А поскольку ,то в итоге получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний:

, (3.19)

Итак, формула (3.20) определяет круговую частоту МС, изображённой на рис. 19, а также частоту колебаний каждого шарика этой МС. Интересно, что частота, определяемая по формуле (3.20), в больше частоты, которая определяется формулой (3.13).

Аналогичным образом вычисляются собственные частоты незатухающих колебаний МС, изображённых на рис. 22 – 25. С этой целью необходимо, используя закон сохранения механической энергии, вывести дифференциальное уравнение для этих МС, аналогичное уравнению (3.19).

Рис.22 Рис.23



Рис.24 Рис. 25


Общие условия задачи 3

Для конкретной колебательной системы (КС), представленной на соответствующем рисунке, необходимо:

1. Вывести дифференциальное уравнение малых свободных затухающих колебаний, если сила сопротивления движению тела КС пропорциональна скорости, т.е. , где r - коэффициент сопротивления.

2. Определить круговую частоту 0 и период T0 свободных незатухающих колебаний.

3. Найти круговую частоту и период T свободных затухающих колебаний.

4. Вычислить логарифмический декремент затухания.

5. Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитуду A0 и фазу 0 колебаний.

6. Написать с учетом найденных значений уравнение колебаний.


Другие исходные данные и начальные условия задачи для каждого варианта задания приведены в табл. 8 – 15.


Общие исходные данные: m* = 0,1 кг; k* = 10 Н/м; l* = 0,1 м; r* = 0,2 кг/с; u* = 0,1 м/с; * = 103 кг/м3; S* = 10-3 м2; * = /6.




Основные зависимости


Исходными уравнениями для вывода дифференциального уравнения колебаний могут быть, например, уравнение поступательного движения твердого тела, записанное в проекции на ось x, или уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси вращения z. В первом случае уравнение имеет вид:

,

где - проекция вектора ускорения тела на ось x; Fix - проекция вектора i-й силы, действующего на тело, на ось x.

Во втором случае уравнение выглядит так:

,

где Iz - момент инерции тела относительно оси z; - проекция углового ускорения на ось z; - угол поворота тела; Miz- проекция вектора момента i -й силы на ось z.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний запишется так:

,

где - коэффициент затухания. Решение этого уравнения при условии, что , имеет вид:

,

где - круговая частота свободных затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания вычисляется по формуле , где Т = 2/..


Задача 3-1

Для механических систем (МС), расположенных на горизонтальной плоскости и представленных на рис. 22 – 25, определить круговую частоту и период собственных незатухающих колебаний. Значения масс шариков, жёсткость соединяющих их пружин, а также другие исходные данные приведены в табл. 8. Трением шариков при их движении о контактную горизонтальную плоскость пренебречь.

Дополнительно (в соответствии с общими условиями задачи 3) рассчитать все требуемые величины и вывести уравнение затухающих колебаний горизонтального пружинного маятника (см. рис. 26), у которого масса шарика m, а длина и жёсткость пружины равны соответственно l0 и k (см. табл. 8). В начальный момент времени шарик смещают так, что длина пружины становится равной l, а за тем кратковременным воздействием сообщают шарику скорость или . В результате система приходит в колебательное движение в горизонтальном направлении. Трением шарика о боковую поверхность пренебречь.




Рис. 26



Таблица 8

Вар.

Рис.

m

k

l0

l

r

1

22;23

0

2

24;25

0

3

22;23

0

4

24;25

0


Случайные файлы

Файл
CB_.DOC
kursovik.doc
139174.rtf
42672.rtf
83388.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.