Условия к ДЗ 1-4 (Задача 2-4)

Посмотреть архив целиком

Задача 2-4

Физический маятник, состоящий из однородного шара радиусом R=3 см и массой М = 0,4 кг, жестко соединённого с однородным жёстким стержнем длиной 4R и массой M, подвешен к горизонтальной оси O, проходящей через верхний конец стержня перпендикулярно плоскости рисунка (Рис.16).














Маятник может свободно без трения вращаться вокруг оси O. Шарик массой m=0,05 кг движется горизонтально в плоскости рисунка со скоростью V0 вдоль горизонтальной прямой, проходящей через центр шара, и ударяет в шар. При этом взаимодействие шарика с маятником может происходить в виде:

  1. абсолютно упругого удара (АУУ);

  2. неупругого удара (НУУ);

  3. абсолютно неупругого удара (АНУУ).


Другие обозначения:

0 – угловая скорость физического маятника сразу после удара шарика;

V0 – минимальная скорость шарика, при которой маятник после удара, приобретая угловую скорость 0m ,совершает полный оборот;

к - угловая скорость физического маятника в верхней точке;

m- максимальный угол отклонения физического маятника от положения равновесия;

Vк – скорость шарика после удара;

E - потери механической энергии при ударе шарика по маятнику.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задания представлены в таблице № 7.

Расчет следует начинать с определения минимальной скорости шарика .

Таблица №7


№ Вар

Задано

Вид взаимодействия

Определить

V0

Vк

АУУ

НУУ

АНУУ

к

m

V0m

E

22

0,5V0m

-

+

-

-

-

+

+

-

23

2 V0m

-

+

-

-

+

-

+

-

24

0,4 V0m

0

-

+

-

-

+

+

+

25

1,2 V0m

0

-

+

-

+

-

+

+

26

0,8 V0m

-

-

-

+

-

+

+

+

27

1,4 V0m

-

-

-

+

+

-

+

+

28

0,6 V0m

-

+

-

-

-

+

+

-





Основные зависимости


Уравнение динамики вращательного движения механической системы относительно неподвижной оси z:

здесь – сумма моментов импульсов всех частей механической системы относительно оси z;

– сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно оси z.

Если , то из этого уравнения следует закон сохранения момента импульса относительно оси z:

Момент силы относительно оси z определяется по формуле:

,

где – проекция внешней силы на направление касательной к окружности с центром на оси z, лежащей в плоскости перпендикулярной оси z, и проходящей через точку приложения вектора силы;

– радиус этой окружности (плечо проекции силы ).

Момент импульса твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси z с угловой скоростью ω равен:

где – момент инерции твердого тела относительно оси z.

Момент импульса твердого тела массой m, движущегося поступательно со скоростью V, перпендикулярно неподвижной оси z относительно этой оси равен:

(2.1)

где h – плечо импульса твёрдого тела, равное длине отрезка, проведённого от оси вращения перпендикулярно прямой, совпадающей с направлением вектора скорости центра масс тела .

Докажем справедливость данной формулы на примере поступательного движения однородного прямолинейного стержня массой m и длиной l (см. задачу 2-2), который движется со скоростью V. Момент импульса этого стержня относительно оси OZ (ось OZ перпендикулярна плоскости рис. 17 и направлена на нас) будет складываться в результате интегрирования моментов импульсов от элементарных частей стержня массой

(2.2)

где у – координата элементарной части стержня длиной dу.

Тогда

,

где – плотность материала стержня;

– площадь его поперечного сечения.

Начало координат оси ОУ расположено в т.О, где находится выступ (ребро) преграды. Момент импульса стержня относительно оси ОZ будет, согласно (2.2), вычисляться по формуле:

(2.3)

На рис. 17

– длина стержня над выступом;

h – расстояние от выступа (т.О) до центра масс стержня (т.С);

– расстояние от края стержня до центра масс.

Перед вторым интегралом в формуле (2.3) стоит знак минус, потому что проекции моментов импульсов нижней и верхней частей стержня относительно оси ОZ имеет разные знаки. После интегрирования получаем:

Или после преобразований имеем:

Поскольку , то в итоге имеем:

(2.4)

что совпадает с формулой (2.1).

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси :

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел массой простой формы:

сплошного кругового цилиндра с радиусом относительно его оси:

;

сплошного шара с радиусом относительно оси, проходящей через центр шара:

;

тонкого стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс:

.

Теорема Штейнера:

,

где – момент инерции твердого тела, относительно оси, проходящей через центр масс;

– момент инерции относительно оси OZ, параллельной CZ;

– расстояние между осями CZ и OZ.

Пример. Однородный жёсткий стержень длиной l и массой М свободно висит на горизонтальной гладкой оси вращения О, как показано на рис. 13. Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка. Малый шарик массой m, летящий горизонтально со скоростью V0, движется в плоскости рисунка, ударяет в стержень и застревает в нём. Найти изменение импульса механической системы (МС) стержень – шарик и потерю механической энергии МС за время удара.

Решение. При ударе шарика о стержень на ось вращения действует со стороны опоры оси дополнительная сила (реакция опоры), удерживающая эту ось на месте. Поэтому МС оказывается незамкнутой, так как реакция опоры является внешней силой по отношению к рассматриваемой МС.

Воспользуемся законом сохранения момента импульса данной МС относительно оси вращения О для расчёта угловой скорости вращения стержня сразу после удара . Это возможно, так как, во-первых, интервал времени взаимодействия (удара) шарика со стержнем настолько незначителен, что углом поворота стержня вокруг оси вращения за этот интервал времени можно пренебречь, а, во-вторых, момент внешней силы (реакции опоры) относительно оси вращения равен нулю в силу равенства нулю плеча этой силы относительно оси О.

Момент импульса МС до удара равен моменту импульса шарика относительно оси О :

(2.5)

Момент импульса МС после удара складывается из моментов импульсов шарика и стержня относительно оси О:

(2.6)

где – момент инерции стержня относительно оси О вычисляется в соответствии с теоремой Штейнера. Приравнивая (2.5) и (2.6), после преобразований находим начальную угловую скорость вращения стержня:

Импульс МС до удара направлен горизонтально и равен начальному импульсу шарика:

(2.7)

Импульс МС после удара направлен горизонтально и равен:

(2.8)

где – импульс шарика после удара, а скорость центра масс стержня равна .

Вычитая (2.7) из (2.8) получим изменение импульса системы стержень – шарик за время удара:

Из последней формулы следует, что импульс МС за время удара увеличился.

Вычислим теперь потерю механической энергии при ударе шарика о стержень. Энергия МС до удара равна начальной кинетической энергии шарика:

Энергия МС сразу после удара складывается из кинетических энергий шарика и стержня:

Вычитая (2.9) из (2.10) после соответствующих преобразований находим потерю механической энергии при ударе шарика о стержень:

В формуле (2.11) , это говорит о том, что при ударе механическая энергия МС уменьшилась, т.е. некоторое количество механической энергии МС при внедрении шарика в стержень перешло в тепло.



Случайные файлы

Файл
153741.rtf
ref-15661.doc
138138.rtf
3322-1.rtf
183080.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.