Условия к ДЗ 1-4 (Задача 1-2)

Посмотреть архив целиком

Задача 1-2

Гладкая частица сферической формы массой m, которую можно рассматривать как материальную точку, ударяется со скоростью о гладкую массивную преграду, которая движется со скоростью . Угол, образованный векторами и , равен . Массу преграды считать бесконечной. На рис. 5,6 преграда имеет форму плоской стенки, на рис.7 – форму острого конуса с углом раствора γ, а на рис.8 – форму конуса сферической головной частью радиусом R. Удар частицы о сферическую поверхность происходит в точке А, расположенной под углом γ относительно оси преграды. При этом АО = R.

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ);

б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ).

Обозначения:

— конечная скорость частицы после удара;

K — угол, образованный векторами и ;

— изменение вектора скорости частицы за время удара;

— изменение модуля импульса частицы за время удара;

E — изменение кинетической энергии частицы за время удара;

F — модуль средней силы, с которой частица действует на стенку во время удара;

Ft — модуль импульса силы, который за время удара t частица передаёт стенке;

— энергия деформирования частицы при ударе, выраженная через её начальную кинетическую энергию, где

 — безразмерный коэффициент.

Общие исходные данные: m* = 10-3 кг, V* = 6 м/с, U* =2 м/с, * = 180°, * = 0,5, t*=10-5 с.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задачи представлены в таблице № 2

Основные зависимости в задаче 1-2.

При решении этой задачи целесообразно использовать кинематическое соотношение

, (1.27)

где — абсолютная скорость частицы, — скорость частицы относительно стенки.

Тогда закон сохранения энергии примет вид:

где и — векторы относительной скорости частицы соответственно до и после удара. Закон изменения импульса частицы при ударе о стенку имеет вид:

, (1.28)

где и — векторы абсолютной скорости частицы до и после удара, — вектор средней силы, с которой стенка действует на частицу. После подстановки в уравнение (1.28) зависимости (1.27) получаем закон изменения импульса, выраженный через относительные скорости

.

Таблица №2


№ вар.


Исходные данные к задаче 1-2

№ рис.

m

V0

U

t

11

5

m*

V*

U*

 *

-

-

t*

12

6

2m*

2V*

U*

 *

-

-

t*

13

5

5m*

3V*

2U*

 *

-

-

t*

14

6

3m*

1/2V*

1/2U*

 *

-

-

-

15

7

4m*

2V*

2U*

-

1/3 *

-

-

16

8

m*

1/2V*

U*

-

 *

-

-

17

5

2m*

2V*

U*

0

 *

t*

18

6

3m*

V*

2U*

*

 *

-

19

7

m*

2V*

U*

-

1/2 *

-

20

8

2m*

V*

U*

1/3 *

-

Таблица №2 (продолжение)

№ вар.

Вид взаимодействия

Определить

АУУ

НУУ

АНУУ

VK

K

E

Ft

F

11

+

-

-

+

+

+

+

+

-

+

-

12

+

-

-

+

+

+

+

+

-

+

-

13

+

-

-

+

+

+

+

+

-

+

-

14

+

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

15

+

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

16

+

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

17

-

+

-

+

-

+

+

+

-

+

-

18

-

+

-

+

-

+

+

+

+

-

-

19

-

-

+

+

-

+

+

+

-

-

+

20

-

-

+

+

-

+

+

+

-

-

+

Образец оформления задачи 1-2.

Гладкая частица сферической формы массой m=10 3 кг, летящая со скоростью V0=6 м/с, ударяется о гладкую массивную стенку, которая движется со скоростью U=2 м/с. Угол, образованный векторами и , равен =120 (рис. 9, время удара t =10 4 c. Массу стенки считать бесконечной. Вид взаимодействия: абсолютно упругий удар (АУУ).

Определить:

  • Скорость частицы после удара VК;

  • Угол K, образованный векторами и ;

  • Модуль изменения импульса ;

  • Модуль средней силы, с которой частица действует на стенку за время удара F;


Д

m

ано:

m=10-3 кг, V0=6 м/с,

U=2 м/с, =120,

Рис. 9

t=10-4 c, АУУ.

VК -?, K-?, -?, F-?

Решение:

С движущейся стенкой свяжем подвижную систему координат . На рис. 10 представлена векторная диаграмма скоростей при ударе частицы о подвижную стенку















Рис. 10


Здесь:

  • - вектор начальной абсолютной скорости частицы;

  • - вектор начальной скорости частицы, относительно подвижной стенки;

  • - вектор скорости подвижной стенки (скорость подвижной инерциальной системы отсчета (ИСО));

  • - вектор конечной абсолютной скорости частицы;

  • - вектор конечной скорости частицы, относительно подвижной стенки.

Эти скорости связаны соотношениями:

(1.29)

(1.30)

Соответствующие углы указаны на рис. 10, в частности, угол 0=180-180-120=60 0=60.

Проецируем соотношения (1.29) и (1.30) на оси OX и OY

V0 cos0=U+ V0 cos0, (1.31)

V0 sin0=V0 sin0, (1.32)

VK cosK=U+ VK cosK, (1.33)

VK sinK=VK sinK. (1.34)

Уравнение изменения импульса при ударе частицы о стенку имеет вид:

, (1.35)

где — вектор средней силы, с которой стенка действует на частицу во время удара (рис. 11), — вектор средней силы, с которой частица действует на стенку во время удара. По третьему Закону Ньютона и соответственно .

Если (1.29) и (1.30) подставить в (1.35) то тогда получим

. (1.36)

Уравнения (1.35) и (1.36) выражают закон изменения импульса частицы: уравнение (1.35) относительно неподвижной системы отсчета, а уравнение (1.36) относительно подвижной системы отсчета. Проецируем (1.35) и (1.36) на оси OX и OY

mVK cosK + mV0 cos0=Ft , (1.37)

mVK sinK = mV0 sin 0 , (1.38)

mVK cosK + mV0 cos0=Ft , (1.39)

mVK sinK = mV0 sin 0. (1.40)

Так как удар частицы о стенку абсолютно упругий, то будет выполняться закон сохранения механической энергии

Отсюда находим V0= VK . (1.41)

Подставляя (1.41) в (1.40) получаем sin 0= sin K, или 0=K (1.42)

Определим угол 0. С этой целью преобразуем (1.31) и (1.32). Первоначально из (1.31) находим

V0 cos0=U+V0 cos0, (1.43)

а затем делим (1.32) на (1.43), в итоге находим

(1.44)