Условия к ДЗ 1-4 (Задача 4-2)

Посмотреть архив целиком

Задача 4-2

Для стержня длиной l , закреплённого, как указано на рис. 35 ÷ 40, необходимо:

Рис. 35

Рис. 36

А

Рис. 37

Рис. 38

А

А

В

Рис. 39

Рис.40

А

А

В

В

  1. вывести формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в стержне, при которых в нём образуется стоячая волна;

  2. указать какая частота колебаний является основной, а какие частоты относятся к обертонам (к высшим гармоникам);

  3. определить частоту и длину волны i-ой гармоники;

  4. для этой гармоники нарисовать вдоль стержня качественную картину:

а) стоячей волны амплитуд смещений;

б) стоячей волны амплитуд деформаций.

Исходные данные для каждого варианта задачи представлены в таблице № 17.

Таблица 17

вар.

Вид крепления

Материал

Плотность r,103 кг/м3

Модуль Юнга

Е,1010 Па

Длина l, м.

Определить i-ю гармонику

7

Рис 35.

Сталь

7,8

20

0,8

3

8

Рис 36.

Латунь

8,5

12

1

2

9

Рис 37.

Алюминий

2,7

7

1,2

1

10

Рис 38.

Стекло

2,5

6

1

1

11

Рис 39.

Титан

4,5

11

0,8

1

12

Рис 35.

Медь

8,9

12

1,2

2

13

Рис 36.

Сталь

7,8

20

0,8

3

14

Рис 37.

Латунь

8,5

12

1

2

15

Рис 38.

Алюминий

2,7

7

1,2

2

16

Рис 39.

Стекло

2,5

6

1

2

17

Рис. 40

Сталь

7,8

20

1,6

2


Теория стоячих волн

  1. Если на левом торце стержня длиной l (см. рис. 35) будет действовать источник гармонических колебаний

,

то вдоль стержня слева направо будет распространяться прямая волна

, (4.7)

где - амплитуда волны, - волновое число, - циклическая частота колебаний, - длина волны.

При отражении прямой волны (4.7) от свободного противоположного правого торца стержня длиной по стержню будет распространяться обратная отражённая волна

(4.8)

При наложении прямой (4.7) и обратной (4.8) волн в стержне образуется стоячая волна

Амплитуда стоячей волны будет равна

(4.9)

При из (4.9) следует, что . Это означает, что на конце стержня всегда будет пучность смещений частиц стержня. Чтобы на переднем торце стержня, откуда по стержню распространяется возмущение, (при ) была также пучность, необходимо чтобы в (4.9) . А это возможно при выполнении условия, что

,

где = 1,2,3,…. – целочисленный ряд значений или с учётом того, что , после преобразований получаем

(4.10)

Формула (4.10) показывает, что при образовании в стержне стоячей волны, на его длине должно укладываться целое число полуволн.

Величина в формуле (4.10) определяет длину стоячей волны . Из формулы (4.10) можно также определить частоты , при которых в стержне образуется стоячая волна.

Поскольку

, (4.11)

где - частота колебаний, связанная с циклической частотой соотношением , а скорость упругой волны с определяется по формуле , то при подставке (4.11) в (4.10) находим возможные частоты, при которых в стержне может образоваться стоячая волна,

(4.12)

При =1 из (4.12) определяем основную частоту (основной тон) , а при = 2,3,4 находим обертоны.

Из формулы (4.9) при условии равенства , находим координаты узлов стоячей волны

,

где = 0,1,2,3, …. Отсюда при условии, что , находим

. (4.13)

Подставляя в (4.13) целочисленный ряд значений находим координаты узлов:

при = 0 ,

при = 1 ,

при = 2 .

Эти координаты для различных стоячих волн указаны на рис. 41 а,б. В данной задаче стержень закреплён посередине. Следовательно, в центре стержня всегда будет узел стоячей волны. На рис. 41а схематично изображена стоячая волна при n=1 и m=0, а на рис. 41б при n=3 и m=0, 1, 2. При n=2 в рассматриваемом стержне стоячая волна не образуется. В точке с координатой = 0 узла не должно быть из физических представлений, так как с этого места в стержень передаётся возмущение от внешнего источника.

Рис. 41


  1. Если второй торец стержня имеет жёсткую заделку (рис. 36), то тогда фаза отражённой волны от этой заделки будет смещена на величину π



a прямая волна остаётся без изменений



При наложении прямой и обратной волн получаем стоячую волну:


где амплитуда стоячей волны имеет вид:

(4.14)

В итоге уравнение стоячей волны запишется так:



Согласно (4.14) амплитуда стоячей волны при x=l будет равна нулю (Аст =0). Отсюда следует, что на заднем торце стержня, где имеется жёсткая заделка всегда будет узел стоячей волны.

При x=0 из (4.14) получаем:

(4.15)

Поскольку на переднем торце стержня, откуда от источника колебаний распространяются возмущения, должна быть пучность, то поэтому из (4.15) следует, что . И тогда в этом случае находим:

 (4.16)

где n принимает целочисленный ряд значений n=1,2,3…. Поскольку волновое число , то тогда из (4.16) следует, что

 (4.17)

Например, при n=1 из (4.17) получаем:

Рис. 42а


а при n=2

Рис. 42б


Поскольк то, подставляя это соотношение в (4.17), находим спектр резонансных частот, при которых в данном стержне будет образовываться стоячая волна



При n=1 получаем основную частоту , а при n=2,3,4… определяем обертоны.

В тех местах стержня, где имеется одно или два крепления, как, например, в местах А на рис. 35, 38 или в местах А и В на рис. 37, 39, 40 считается, что в этих местах нет продольных смещений частиц стержня, т.е. в этих местах будет узел стоячей волны.



Случайные файлы

Файл
23645-1.rtf
12254.rtf
ГОСТ 23422-87.doc
~1.DOC
101377.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.