Условия к ДЗ 1-4 (Задача 1-1)

Посмотреть архив целиком

Динамика материальной точки

Задача 1-1

Две гладкие частицы сферической формы с массами m1 и m2, движущиеся со скоростями и , сталкиваются под углом , как указано на рис.1









Расстояние до места встречи и скорости частиц соответствуют условиям соударения (отсутствию промаха). На рис.1:

 — угол встречи, т.е. угол, образованный векторами и ;

= ( - ) — дополнительный угол;

 — угол между линией удара O1O2 и вектором .

Другие обозначения:

и — скорости соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

— совместная скорость частиц после абсолютно неупругого удара.

 — угол отклонения частицы после удара, т.е. угол, образованный векторами и или и .

 — угол разлета частиц после удара, т.е. угол, образованный векторами и .

и — импульсы соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

E1, E2 — кинетические энергии соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

E — изменение кинетической энергии механической системы, состоящей из двух частиц за время удара.

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ);

б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ).

Общие исходные данные: m* = 103кг, V* = 10 м/с, * = /2.


Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задачи представлены в таблице № 1

Таблица №1

№ вар

Исходные данные к задаче 1-1

m1

m2

V10

V20

1

2m*

m*

V*

0

-

1/3*

-

2

m*

1/2m*

2V*

0

-

2/3*

-

3

3m*

2m*

1/2V*

0

-

1/2*

-

4

3/2m*

1/2m*

3V*

0

-

2/3*

-

5

2m*

m*

V*

2V*

2/3*

-

-

6

3m*

2m*

2V*

V*

1/2*

-

-

7

m*

2m*

V*

0

-

1/3*

1/4*

8

2m*

3m*

2V*

0

-

1/2*

1/3*

9

m*

m*

V*

V*

1/2*

1/2*

-

10

2m*

2m*

2V*

2V*

2/3*

2/3*

-

Таблица №1 (продолжение)

№ вар

Вид взаимодействия

Определить

АУУ

НУУ

АНУУ

V1

V2

E1

E2

p1

p2

E

U

1

+

-

-

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

2

+

-

-

-

-

-

+

+

+

-

-

-

-

3

+

-

-

-

-

+

-

-

-

+

+

-

-

4

+

-

-

+

+

-

-

-

+

-

-

-

-

5

-

-

+

-

-

-

-

-

+

-

-

+

+

6

-

-

+

-

-

-

-

-

+

-

-

+

+

7

-

+

-

+

+

-

-

-

-

-

-

+

-

8

-

+

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

-

9

+

-

-

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

10

+

-

-

-

-

-

+

+

+

-

-

-

-


Основные зависимости в задаче 1-1

Во всех процессах, связанных с ударным взаимодействием частиц, следует считать время удара пренебрежимо малой величиной, т.е. за время удара координаты местоположения и ориентация частиц практически не изменяются.

При соударении двух частиц выполняются законы сохранения импульса и энергии. ЗСИ и ЗСЭ для данной задачи в общем случае имеют вид

Образец оформления решения задачи 1-1

Два одинаковых, абсолютно гладких шара движутся навстречу друг другу со скоростями . При этом векторы скоростей направлены по касательным к поверхностям противоположных шаров (см. Рис.2). Определить под каким углом к первоначальному направлению движения будет двигаться правый шар после соударения если удар шаров является абсолютно упругим.

Дано:

-------------------



Решение

На рис.3 приведена векторная диаграмма соударения шаров, а на рис.4 изображено расположение шаров в момент удара.

Рис.3


Рис.4


При упругом ударе шаров выполняется закон сохранения механической энергии (ЗСМЭ)

где – начальная скорость 1-го шара,

– начальная скорость 2-го шара,

– конечная скорость 1-го шара (скорость 1-го шара после удара),

- конечная скорость 2-го шара (скорость 2-го шара после удара).

Сокращая (1.1) на , приходим к более простому выражению

Законы изменения импульсов для 1-го и 2-го шаров имеют вид:

где – интервал времени взаимодействия шаров при ударе,

– сила, с которой 2-ой шар действовал на 1-ый шар во время удара,

– сила, с которой 1-ый шар при ударе действовал на 2-ой шар.

Векторы и лежат на линии удара (линия, проходящая через центры масс шаров и точку контакта К).

Согласно третьему закону Ньютона

Складывая (1.3) и (1.4) приходим к следующему выражению:

которое с учётом (1.5) преобразуется в закон сохранения импульса (ЗСИ)

сокращая (1.6) на , получаем

Проецируем (1.7) на ось Х, совпадающей с линией удара (Рис. 3),

Проецируем (1.3) и (1.4) на ось У, расположенную перпендикулярно линии удара,

или сокращая, полученные выражения на массу , приходим к равенствам:

Преобразуем (1.8)

и возведём (1.11) в квадрат

Далее запишем (1.2) через проекции

Согласно (1.9) и (1.10), это выражение упростится

Вычтем (1.13)из (1.12)

\

\

\

\

Но согласно (1.11) выражения, стоящие в скобках в левой и правой частях этого уравнения, равны. Следовательно:

Подставляя (1.15) в (1.11), приходим к другому равенству

Если умножить (1.15) и (1.16) на , то получим равенство проекций импульсов:

Выражения (1.17) и (1.18) можно интерпретировать, как взаимный обмен импульсами шаров при ударе вдоль оси X (вдоль линии удара).


Угол ϕ между линией удара О1КО2 и вектором , определяем из чисто геометрических построений (см. Рис. 4). Так как О1О2=2R (здесь R – радиус шара), а О2В=R, то тогда

Согласно (1.9), (1.10) и Рис.3 получаем:

А согласно (1.15), (1.16) и Рис.3 находим:

Формулы(1.19)÷(1.22) с учётом того, что

Итак, имеем 4 уравнения (1.23)÷(1.26) и 4 неизвестные величины: скорости , и углы ,

Разделим (1.24) на (1.26)

Согласно Рис.3

Итак

Разделим (1.25) на (1.23)

Из (1.23) находим

Проверка из (1.25)



Из (1.24)

Проверка из (1.26)



Случайные файлы

Файл
26862-1.rtf
17677.rtf
USL_OS.DOC
69552.rtf
107243.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.