Условия к ДЗ 1-4 (Задача 1-1)

Посмотреть архив целиком

Динамика материальной точки

Задача 1-1

Две гладкие частицы сферической формы с массами m1 и m2, движущиеся со скоростями и , сталкиваются под углом b, как указано на рис.1









Расстояние до места встречи и скорости частиц соответствуют условиям соударения (отсутствию промаха). На рис.1:

b — угол встречи, т.е. угол, образованный векторами и ;

a = (p - b) — дополнительный угол;

j — угол между линией удара O1O2 и вектором .

Другие обозначения:

и — скорости соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

совместная скорость частиц после абсолютно неупругого удара.

q — угол отклонения частицы после удара, т.е. угол, образованный векторами и или и .

g — угол разлета частиц после удара, т.е. угол, образованный векторами и .

и — импульсы соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

E1, E2 — кинетические энергии соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

DE — изменение кинетической энергии механической системы, состоящей из двух частиц за время удара.

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ);

б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ).

Общие исходные данные: m* = 103кг, V* = 10 м/с, a* = p/2.


Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задачи представлены в таблице № 1


Таблица №1

вар

Исходные данные к задаче 1-1

m1

m2

V10

V20

a

j

q

1

2m*

m*

V*

0

-

1/3a*

-

2

m*

1/2m*

2V*

0

-

2/3a*

-

3

3m*

2m*

1/2V*

0

-

1/2a*

-

4

3/2m*

1/2m*

3V*

0

-

2/3a*

-

5

2m*

m*

V*

2V*

2/3a*

-

-

6

3m*

2m*

2V*

V*

1/2a*

-

-

7

m*

2m*

V*

0

-

1/3a*

1/4a*

8

2m*

3m*

2V*

0

-

1/2a*

1/3a*

9

m*

m*

V*

V*

1/2a*

1/2a*

-

10

2m*

2m*

2V*

2V*

2/3a*

2/3a*

-

Таблица №1 (продолжение)

вар

Вид взаимодействия

Определить

АУУ

НУУ

АНУУ

V1

V2

g

E1

E2

q

p1

p2

DE

U

1

+

-

-

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

2

+

-

-

-

-

-

+

+

+

-

-

-

-

3

+

-

-

-

-

+

-

-

-

+

+

-

-

4

+

-

-

+

+

-

-

-

+

-

-

-

-

5

-

-

+

-

-

-

-

-

+

-

-

+

+

6

-

-

+

-

-

-

-

-

+

-

-

+

+

7

-

+

-

+

+

-

-

-

-

-

-

+

-

8

-

+

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

-

9

+

-

-

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

10

+

-

-

-

-

-

+

+

+

-

-

-

-


Основные зависимости в задаче 1-1

Во всех процессах, связанных с ударным взаимодействием частиц, следует считать время удара пренебрежимо малой величиной, т.е. за время удара координаты местоположения и ориентация частиц практически не изменяются.

При соударении двух частиц выполняются законы сохранения импульса и энергии. ЗСИ и ЗСЭ для данной задачи в общем случае имеют вид

Образец оформления решения задачи 1-1

Два одинаковых, абсолютно гладких шара движутся навстречу друг другу со скоростями . При этом векторы скоростей направлены по касательным к поверхностям противоположных шаров (см. Рис.2). Определить под каким углом  к первоначальному направлению движения будет двигаться правый шар после соударения если удар шаров является абсолютно упругим.


Дано:

-------------------



Решение

На рис.3 приведена векторная диаграмма соударения шаров, а на рис.4 изображено расположение шаров в момент удара.

Рис.3


Рис.4


При упругом ударе шаров выполняется закон сохранения механической энергии (ЗСМЭ)

где  – начальная скорость 1-го шара,

 – начальная скорость 2-го шара,

 – конечная скорость 1-го шара (скорость 1-го шара после удара),

 - конечная скорость 2-го шара (скорость 2-го шара после удара).

Сокращая (1.1) на  , приходим к более простому выражению

Законы изменения импульсов для 1-го и 2-го шаров имеют вид:

где  – интервал времени взаимодействия шаров при ударе,

 – сила, с которой 2-ой шар действовал на 1-ый шар во время удара,

 – сила, с которой 1-ый шар при ударе действовал на 2-ой шар.

Векторы  и  лежат на линии удара (линия, проходящая через центры масс шаров и точку контакта К).

Согласно третьему закону Ньютона

Складывая (1.3) и (1.4) приходим к следующему выражению:

которое с учётом (1.5) преобразуется в закон сохранения импульса (ЗСИ)

сокращая (1.6) на , получаем

Проецируем (1.7) на ось Х, совпадающей с линией удара (Рис. 3),

Проецируем (1.3) и (1.4) на ось У, расположенную перпендикулярно линии удара,





или сокращая, полученные выражения на массу , приходим к равенствам:





Преобразуем (1.8)

и возведём (1.11) в квадрат

Далее запишем (1.2) через проекции



Согласно (1.9) и (1.10), это выражение упростится

Вычтем (1.13)из (1.12)



\

\

\

\

Но согласно (1.11) выражения, стоящие в скобках в левой и правой частях этого уравнения, равны. Следовательно:

Подставляя (1.15) в (1.11), приходим к другому равенству

Если умножить (1.15) и (1.16) на , то получим равенство проекций импульсов:

Выражения (1.17) и (1.18) можно интерпретировать, как взаимный обмен импульсами шаров при ударе вдоль оси X (вдоль линии удара).


Угол ϕ между линией удара О1КО2 и вектором  , определяем из чисто геометрических построений (см. Рис. 4). Так как О1О2=2R (здесь R – радиус шара), а О2В=R, то тогда



Согласно (1.9), (1.10) и Рис.3 получаем:

А согласно (1.15), (1.16) и Рис.3 находим:

Формулы(1.19)÷(1.22) с учётом того, что

Итак, имеем 4 уравнения (1.23)÷(1.26) и 4 неизвестные величины: скорости ,  и углы , 

Разделим (1.24) на (1.26)

Согласно Рис.3 

Итак 

Разделим (1.25) на (1.23)

Из (1.23) находим

Проверка из (1.25)



Из (1.24)

Проверка из (1.26)



Случайные файлы

Файл
33082.rtf
158068.rtf
88599.doc
71626.rtf
97679.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.