Численные методы для решения нелинейных уравнений (86108)

Посмотреть архив целиком

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации


Саратовский государственный технический университет







ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ



Методические указания

к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»

для студентов всех специальностей

под контролем преподавателя



Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета







Саратов 2008


Введение


Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.

Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.

Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.

Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.

В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]


Численные методы для решения нелинейных уравнений


Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.


1. Определения и условные обозначения


конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из упорядоченных действительных чисел, например:



где – действительные числа, .

В введена операция сложения элементов, т. е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:


  1. ,

  2. ,

  3. , что (элемент называется нулевым),

  4. , что (элемент называется противоположным элементу ).

В введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:


  1. ,


Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:


  1. ,

  2. .


Каждой паре элементов поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом и называемое скалярным произведением, где



и выполнены следующие условия:


  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. , причем – нулевой элемент.


Матрица вида

, (1)

где – действительные числа (,) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство в себя, а именно, для


,


где .

Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:


  1. сложение операторов , при этом, если , то ,

  2. умножение операторов на числа: при этом, если , то ,

  3. умножение операторов: , при этом, если , то .


Обратным к оператору называется оператор такой, что , где – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,


.

Пусть число и элемент , таковы, что .

Тогда число называется собственным числом линейного оператора , а элемент – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .

Линейный оператор называется сопряженным к оператору , если для любых элементов выполняется равенство .

Для всякого оператора сопряженный оператор существует, единствен; если , то .

Справедливы равенства:


  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. , если существует.


Каждому элементу ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом и называемое нормой элемента .

Введем в рассмотрение три нормы для :


,

,

.


При этом выполняются следующие неравенства:


.

Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):


  1. , причем , лишь если ,

  2. ,

  3. .


Говорят, что последовательность элементов сходится к элементу ,

а именно, ,

или ,

если .

Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве называется сходимостью по норме.

Множество элементов , удовлетворяющих неравенству называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве с центром в точке и обозначается .

Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом и называемое нормой линейного оператора .

Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:


  1. , причем , лишь если – нулевая матрица,

  2. ,

  3. .


Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего в :

,

,

,


где i-ое собственное значение матрицы .

Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия .


2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в


Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид:


(2)


или F(x) = 0,

где – заданные функции n переменных, – неизвестные.

Функция при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.

Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение системы в тождество.

Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:



или ,


где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий в



Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке вида


(2)


или ,


где – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно , вычисленных точке .

Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в , а именно:


(3)


или ,

где .

Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворяло системе (2).

Функции удовлетворяют тем же условиям, что и функции .


3. Отделение решений


Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.

Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.

Так, если дано скалярное уравнение , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.

Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.

Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.

Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.

Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.

Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений


, .


В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных и . Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.


4. Методы решения нелинейных уравнений


4.1 Метод простой итерации


Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.

Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).

Затем, взяв начальное приближение , которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность


Случайные файлы

Файл
63659.rtf
97263.rtf
fin_mendg.doc
61973.doc
1149-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.