Традиционные методы вычислительной томографии (86072)

Посмотреть архив целиком

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»






Д.Н. Карпинский



МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к разделу «Традиционные методы вычислительной томографии» спецкурса «Применение томографических методов в медицинской диагностике»

для студентов специальности «Прикладная математика»











Ростов-на-Дону

2007


Печатается по решению кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол N1 от 10 сентября 2007 года.

Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теории упругости Д.Н.Карпинским.



1. ВВЕДЕНИЕ


Томография - одно из бурно развивающихся направлений в области получения и обработки информации. Томография позволяет заглянуть внутрь наблюдаемого объекта. Основная проблема томографии - как по получаемым в томографическом эксперименте проекционным данным (например, по рентгеновским снимкам) "увидеть" внутреннюю структуру анализируемого объекта. Область математики, в которой разрабатываются методы решения подобных задач, известна как "интегральная геометрия" [1].

Хронология развития вычислительной томографии:

1895 г. – открытие рентгеновских лучей;

1917 г. – преобразование Радона;

1920 г. – рентгенограмма в медицине;

1930 г. – линейная томография, вращательная томография;

1942 г. – РВТ в радиоастрономии;

1961 г. – сверточный алгоритм;

1964 г. – алгоритм РВТ А. Кормака;

1972 г. – серийный томограф Г. Хаунсфилда;

1977 г. – учебный курс по вычислительной томографии в университете штата Нью-Йорк;

1979 г. – Нобелевская премия А. Кормаку и Г. Хаунсфилду.

1.2 В настоящее время существуют следующие виды томографии:

  1. рентгеновская томография;

  2. радионуклеидная томография;

  3. ЯМР – томография;

  4. ультразвуковая томография;

  5. оптическая томография;

  6. протонно-ионная томография;

  7. томография в радиодиапазоне;

  8. ЭПР - томография.

Особенно важное значение методы томографии имеют для медицинской диагностики [2].

Все виды томографии по свойствам изучаемых объектов можно разделить на два больших класса: трансмиссионную вычислительную томографию (ТВТ) и эмиссионную вычислительную томографию (ЭВТ). В ТВТ внешнее излучение зондирует пассивный (неизлучающий) объект, частично поглощаясь им. В ЭВТ активный (излучающий) объект представляет собой пространственное распределение источников излучения, при этом выходящее вдоль какого-либо направления излучение является суперпозицией излучений всех источников, лежащих на линии проецирования.

Рассмотрим вначале физический закон распространения внешнего излучения в веществе. Пусть тонкий пучок, например - излучения, с интенсивностью падает на слой вещества с распределением линейного коэффициента поглощения (ослабления) вдоль распространения пучка. При этом феноменологически определяют через вероятность поглощения - кванта при прохождении элементарного пути соотношением .


Рисунок 1. К выводу уравнения переноса излучения (1.1).


Стационарное уравнение переноса излучения в чисто поглощающей неоднородной среде, описывающее процесс излучения в веществе, представляет собой баланс частиц или энергии и имеет вид


(1.1)


Решением уравнения (2.1) будет закон Бугера-Ламберта-Бэра для неоднородной поглощающей среды, который составляет основу расчетов ТВТ.


, (1.2)


где - интенсивность источника излучения.

Рассмотрим теперь закон распространения излучения при действии внутренних источников излучения (самоизлучающие объекты).


Рисунок 2. К выводу закона переноса излучения при действии внутреннего источника.


Пусть точечный источник излучает в телесный угол с интенсивностью в веществе с распределением линейного коэффициента ослабления вдоль прямой, соединяющей источник с небольшой площадкой , наклоненной под углом к этой прямой. Тогда для интенсивности , приходящейся на площадку , получаем [3]


. (1.3)


Выражение (1.3) учитывает четыре основных фактора: пространственное распределение источника излучения, геометрическое ослабление, ослабление излучения в веществе и наклон площадки детектора. Формула (1.3) лежит в основе ЭВТ.



2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА


2.1 Рассмотрим задачу восстановления двумерного распределения коэффициента ослабления при просвечивании объекта излучением внешнего источника. Источник излучения проходит дискретно вдоль объекта. Синхронно с источником с другой стороны объекта движется детектор излучения. Набор отсчетов, полученный таким образом, определяет одномерную функцию, называемую проекцией. Затем система «Источник-детектор» поворачивается относительно объекта на некоторый угол , и снимает новый набор отсчетов, определяющий следующую проекцию. По полученному набору одномерных проекций необходимо восстановить двумерное распределение . Такую схему измерений называют круговой геометрией измерений, а проекции называют параллельными проекциями.


Рисунок 3. Схема кругового сканирования с параллельными проекциями.


Пусть на плоскости, где введена прямоугольная система координат задана функция . Проинтегрируем эту функцию по некоторой прямой, лежащей в данной плоскости. Очевидно, что результат интегрирования, который обозначим , зависит от того, по какой именно прямой проводится интегрирование.


Рисунок 4. К выводу формул преобразования Радона.


Известно, что всякая прямая может быть описана уравнением


, (2.1)


где - расстояние от начала координат до этой прямой; - угол, образованный с осью перпендикуляром, опущенным из начала координат на эту прямую.

Произвольная прямая однозначно задается двумя параметрами и . Поэтому и результат интегрирования функции по некоторой прямой будет зависеть от этих же параметров, т.е. . Предположим, что функция интегрируется по всевозможным прямым. Подобное интегрирование можно также рассматривать как некоторое преобразование, которое данной функции на плоскости ставит в соответствие функцию на множестве всех прямых, задаваемую интегралами от вдоль прямых. Это преобразование называют преобразованием Радона [4,5], а функцию часто называют образом функции в пространстве Радона или проекцией, которая в обозначениях (1.2) имеет вид


. (2.2)


Задача ставится следующим образом: функция неизвестна, но известна функция , являющаяся образом в пространстве Радона; требуется по функции определить . Другими словами решение поставленной задачи сводится к отысканию явной формулы обращения или к поиску преобразования, обратного преобразованию Радона. Впервые формула обращения была получена в статье Иоганна Радона, опубликованной в 1917 году в Трудах Саксонской академии наук. Однако эта работа была незаслуженно забыта и формула обращения была открыта заново в 1961 году.

Согласно определению радоновского образа и с учетом того, что интеграл от заданной функции вдоль прямой равен интегралу по всей плоскости произведения этой функции на - функцию, аргументом которой является левая часть уравнения (2.3), имеем [6,7]


. (2.3)


Интегрирование, осуществляемое по двум переменным, можно свести к интегрированию по одной переменной. Для этого введем еще одну прямоугольную систему координат , повернутую относительно на угол . Вспомним, что при переходе от одной из этих систем координат к другой координаты меняются следующим образом:


(2.4)

(2.5)


Сделаем в (2.3) замену переменных (2.4)


=

= (2.6)


Для функции , отличной от нуля в пределах некоторой ограниченной области, ее радоновский образ также определяется выражением (2.3), только интегрирование проводится не по всей плоскости, а задается границами данной области. Так, если отлична от нуля внутри круга радиуса , то вместо (2.6) имеем


. (2.7)


В общем случае функция, описывающая радоновский образ, обладает одним важным свойством


. (2.8)


Физический смысл этого свойства состоит в том, что любые пары и согласно (2.1) задают одну и ту же прямую.

Приведем примеры, которые иллюстрируют вычисление радоновских образов.

Пример 1.

Пусть . Подставим это выражение в (2.6) и получим (см. Приложение А)


=

=. (2.9)


Из (2.9) следует, что если функция отлична от нуля в точке , то функция, описывающая ее образ в пространстве Радона , отлична от нуля на линии


, (2.10)

где

.


Рисунок 5. - функция (а) и ее радоновский образ (б)


Пример 2.

Пусть . Подставляя это выражение в (2.6), получим


. (2.11)


Рисунок 6. Функция (а) и ее радоновский образ (б)


Область, где принимает максимальные значения, представляет собой линию, которая определяется выражением (2.10).

Пример 3.

При (2.12)

получаем


(2.13)




Рисунок 7. Функция (а) и ее радоновский образ (б)


    1. В случае самоизлучающего объекта основной задачей ЭВТ является задача восстановления двумерного распределения источников излучения . Для простоты будем считать, что область, в которой распределены источники излучения, целиком расположена в области поглощения излучения, характеризующейся функцией распределения коэффициента ослабления . Обычно при измерениях с помощью ЭВТ, также как и при ТВТ, используют круговую схему с параллельными проекциями.


Случайные файлы

Файл
182395.rtf
35233.rtf
29949-1.rtf
178936.rtf
3335.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.