Интегралы. Дифференциальные уравнения (86058)

Посмотреть архив целиком

Интегралы


Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в любой точке этого промежутка .

Теорема. Если и – первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство


= + .


Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом,


= + .


Свойства неопределенного интеграла

  1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть


.


  1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть



  1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть


,


где – произвольное число.

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть



  1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть


.


Метод замены переменной


,


где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям


,


где и – дифференцируемые функции.

Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида


и ,


причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Рациональную функцию можно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.

Для интегралов вида делают замену , а для интегралов в общем случае используются подстановки Эйлера.

При интегрировании тригонометрических выражений в общем случае используется замена переменной , где .



Талица основных интегралов.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.


Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида


(1)


будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на, обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть


= .


Экономический смысл интеграла. Если – производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток . Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .

Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть


,


где – некоторое число.

  1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть


.


  1. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых



  1. Если на отрезке , где , , то и


.



Следствие. Пусть на отрезке , где , , где и – некоторые числа. Тогда


.


Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение , что


.


Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и – любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть



Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда имеет место равенство


=.


Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда


.


Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле



Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , и находится по формуле


.


Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид


.


Решением дифференциального уравнение называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество.

Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется такое его решение


,


которое является функцией переменных и произвольных независимых постоянных .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении


(1)


функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве координатной плоскости. Тогда

  1. Для любой точки множества найдется решение уравнения (1), удовлетворяющее условию .

  2. Если два решения и уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены.

Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от, либо только от .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде



или в виде


,


где , , – некоторые функции переменной ; – функции переменной .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид


,


где и – некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид


, (2)


где – некоторые действительные числа, – некоторая функция.

Если , то уравнение


(3)


называется однородным, в противном случае при уравнение (2) называется неоднородным.

Теорема. Если и – линейно независимые частные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид


,


Для некоторых действительных чисел и .

Уравнение


(4)


называется характеристическим уравнением уравнения (3).

Теорема.

  1. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид


,


где и – некоторые числа.

  1. Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень (кратности 2), то общее уравнения (3) имеет вид


,


где и – некоторые числа.

  1. Если характеристическое уравнение (4) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (3) имеет вид


Случайные файлы

Файл
80503.rtf
4347-1.rtf
178982.rtf
33161.rtf
149466.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.