Линейные уравнения и их свойства (86036)

Посмотреть архив целиком

Тема 1. Система линейных уравнений


В общем случае система линейных уравнений с неизвестными имеет вид


(1)


Через обозначены неизвестные, подлежащие определению, величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность чисел , которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую называют основной матрицей системы


.


Если , то матрица является квадратной и ее определитель называется определителем системы. Если определитель квадратной системы уравнений то система имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:



Здесь - определитель системы, определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой го столбца столбцом ее свободных членов.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений



Решение. Найдем определитель системы


=


Далее вычислим определитель , заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов



Аналогично находим определители :



Отсюда по формулам Крамера находим решение системы



Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса - методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбец свободных членов



Полученную матрицу называют расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:

Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

Перестановка строк матрицы.

Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на общее произвольное число.

Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк основную матрицу системы привести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестная содержится только в первом уравнении, неизвестная - только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.

Пример 2. Решить систему уравнений


(2)


Решение. Расширенная матрица системы имеет вид


(3)


Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить

(в этом случае упрощаются последующие вычисления).


~ (4)


Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первую строку полученной матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно к элементам второй строки, далее первую строку матрицы (4) умножим на число (-5) и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы. В результате получим матрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестную только в первом уравнении


~ . (5)


Так как в матрице (5) , то, умножая вторую строку этой матрицы на число (-5) и прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицу треугольного вида. Для упрощения разделим элементы последней строки на число (-11):


~ ~ (6)


Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной системе (2)



Отсюда из третьего уравнения получаем . Подставляя найденное значение во второе уравнение, определяем неизвестную :



Наконец, после подстановки найденных значений в первое уравнение, находим неизвестную : Таким образом, решение системы единственное:

Пример 3. Решить систему уравнений


(7)


Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)


~ ~


~~ ~


~ ~ .


Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитания из элементов четвертой строки соответствующих элементов третьей строки, содержит нулевую строку и имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходной системе уравнений эквивалентна система из трех уравнений с 4 неизвестными



Неизвестную перенесем в правые части уравнений



Отсюда определяем



Задавая переменной произвольное значение , найдем бесконечное множество решений системы



Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид . Тогда соответствующее уравнение системы привелось к неверному равенству

Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.


Таблица 1

Вид

ресурсов

Норма расхода ресурсов

на производство ед. товара

Объем

ресурсов

на 1 день

1 вид

2 вид

3 вид

Рабочая сила

1

1

2

800

Сырье

3

2

4

1700

Оборудование

2

1

3

1100


Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.

Решение. Пусть - ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестные



Решим ее методом Гаусса.


~ ~


Отсюда находим , т.е. предприятие ежедневно выпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.

Задача для контрольной работы

Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов. При этом используется сырье трех типов. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решая ее методом Гаусса и по формулам Крамера.


Таблица 2

Номер

варианта

Вид

сырья

Норма расхода сырья на 1 изделие

Объем

расхода сырья

Изделие 1

Изделие 2

Изделие 3

1

3

2

4

2000

1

3

2

1100

2

5

1

1200


2

4

1

3

1800

1

2

5

2500

2

1

2

1200


3

2

3

4

1400

3

1

3

1000

1

2

3

1000


4

1

5

2

1700

2

3

1

1100

3

1

4

1700


5

2

2

4

2200

1

3

1

1300

3

1

2

1600


6

1

3

3

1500

3

1

1

900

2

2

4

1700


7

4

2

1

1200

3

3

2

1600

1

2

1

900


8

1

2

2

1000

3

1

2

1200

4

3

4

2200


9

2

2

3

1000

1

3

1

700

3

1

2

700


10

1

3

4

2700

2

1

3

1900

3

2

1

1600


Случайные файлы

Файл
82072.rtf
14584-1.rtf
182493.rtf
93523.rtf
158002.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.