Метод конечных разностей или метод сеток (85784)

Посмотреть архив целиком

Метод конечных разностей, или метод сеток


Рассмотрим линейную краевую задачу


(2.24)

(2.25)

,


где , , и непрерывны на [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага


.


Точки разбиения 


, 


называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции  и ее производных   обозначим соответственно через


.

Введем обозначения



Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:


(2.26)


Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим


.  (2.27)


Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений


(2.28)


Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:


. (2.29)


Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции  в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):


. (2.30)


Введя обозначения



получим

, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)


Краевые условия по-прежнему запишем в виде


. (2.32)


Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно :


. (2.33)


Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде


, (2.34)


где  и  должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что


Исключая из этих двух уравнений , найдем


.


Выразим теперь отсюда :


(2.35)


Но, согласно формуле (2.34),


(2.36)


Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что


(2.37)


Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n–2. Выражая  по формуле (2.34), получим:


.


Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь


.


Разрешая полученное уравнение относительно, находим


, или

. (2.38)


Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы:

 

(2.39)

Так как  и  уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты  и  до  и  включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n–2 и второго краевого условия (2.32) получаем



Разрешая эту систему относительно, будем иметь


. (2.40)


Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:


(2.41)

Для простейших краевых условий  

формулы для и  упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь



Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2) Как фактически находить это решение?

3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид



причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая


Теорема


Если  и  дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой



равномерно сходится к точному с погрешностью  при


Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной



имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации



Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:


, (2.42)

, (2.43)

i=1, 2,..., n.


Погрешность формулы (2.42) выражается так:



то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:


(2.44)


Где .


Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

(2.45)


Затем определяют коэффициенты  по следующим рекуррентным формулам:


(2.46)


Обратный ход начинается с нахождения :


(2.47)


После этого находим по формулам:


, (2.48)

. (2.49)

Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при


и ,


и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место


Теорема


Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия


, , 


то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью .


Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.


Случайные файлы

Файл
15858.doc
11576-1.rtf
73709.rtf
176273.rtf
160532.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.