Матрицы. Дифференциальные уравнения (85775)

Посмотреть архив целиком

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ


Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка называется началом вектора , а точка – его концом (рис. 1).

Обозначения: , .





Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается , .

Определение. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. На плоскости Oxy ; в пространстве Oxyz .

Определение. Суммой и разностью векторов и являются соответственно векторы

;

;

произведение вектора на число  есть вектор

.

Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

(на плоскости);

(в пространстве).

Определение. Расстояние d между двумя точками A и B можно рассматривать как длину вектора , т.е.

(на плоскости);

(в пространстве).

Определение. Если два вектора и перпендикулярны, то

(на плоскости);

(в пространстве).

Определение Вектор X называется собственным вектором линейного оператора A (матрицы A), если найдется такое число , что AX=X.

Число  называется собственным значением оператора A, заданного матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения .


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.

Определение Порядок старшей производной – порядок дифференциального уравнения.

Определение Решение дифференциального уравнения – такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.

Определение Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной x и n постоянных. Частное решение при конкретных значениях .

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

.

Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

.

(Для решения используется замена t=y/x)/

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

(линейное неоднородное).

(Сначала решаем уравнение - линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).

Определение Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

(Для решения используется замена ).

Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

=0

(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение ).

Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни 1 и 2, причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид

(С1, С2 – некоторые числа).

2) Если характеристическое уравнение имеет один корень  (кратности 2),то общее решение имеет вид

(С1, С2 – некоторые числа).

3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид

, где

, С1, С2 – некоторые числа.


НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ


Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b

(k=tg коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)

Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 параллельны, то k1=k2.

Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 перпендикулярны, то k1k2=-1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):

Пусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образует с осью Ox угол

y-y1=k(x-x1)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид

y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

Геометрический смысл производной:

f(x0)=k=tg

(производная f(x0) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0)


МАТРИЦЫ


Определение: Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.


Матрица размера mn:

.


Виды матриц

Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом.

Пример:

; .

Определение: Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Пример:

- квадратная матрица третьего порядка.

Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример:

- диагональная матрица третьего порядка.

Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.

Пример:

- единичная матрица второго порядка;

- единичная матрица третьего порядка.

Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.


Операции над матрицами

  1. Умножение матрицы на число

Каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пример:

, 0,5.

  1. Сложение матриц

!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы складываются поэлементно.

Пример:

.


  1. Вычитание матриц

!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы вычитаются поэлементно.

Пример:

.


  1. Умножение матриц

!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы называется такая матрица , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.


  1. Возведение в степень

Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.

.

Пример:

, найти А2.


6. Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается .

Пример:

.

Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.

.

!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

  1. Находим определитель матрицы, т.е..

  2. Находим транспонированную матрицу , т.е..

  3. Находим присоединенную матрицу, т.е (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

  4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

  5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.

Ранг матрицы

Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.

!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

  1. умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

  2. прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

  3. перемена местами строк (столбцов) матрицы;

  4. отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.


МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ


На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.


xi

x1

x2

xn

yi

y1

y2

yn


Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:

  • устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная - y=ax+b);

  • определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(xi), найденных по эмпирической формуле y=f(x), от соответствующих опытных значений была минимальной, т.е.


Случайные файлы

Файл
20428-1.rtf
KURSOVIK.DOC
53405.doc
HIS_DATE.doc
181252.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.