Четырехполюсники, электрические фильтры (63394)

Посмотреть архив целиком

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(государственный технический университет)

ФИЛИАЛ «ВЗЛЕТ»


Кафедра РЭВС




РАЛДЫГИН И.К.


КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ

«Основы теории цепей». Часть 2.

Четырехполюсники, электрические фильтры.


Учебное пособие для студентов радиотехнической специальности.





ОДОБРЕНО

НА ЗАСЕДАНИИ КАФЕДРЫ РЭВС

«____» ________________ 2003 года

Протокол № ____










Ахтубинск – 2003


Предисловие ко 2-й части


Во второй части конспекта по Основам теории цепей (ОТЦ) кратко изложена теория четырехполюсников (4х-П) и более подробно изложена теория электрических фильтров.

Анализ и синтез простейших электрических фильтров проводится с применением прикладной программы Mathcad 2000 (МС). Все расчеты, выполненные в среде Mathcad, проверены путем электронного моделирования по программе Electronics Workbench. Конспект, с его многочисленными примерами, может быть использован студентами при проектировании электрических фильтров на этапах разработки курсовых и дипломных проектов.

Работа написана на основе 4-х-летнего опыта применения упомянутых программ в учебном процессе.


Глава 1. Четырехполюсники


1.1 Основные определения и классификация четырехполюсников (4х-П)


Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к любым двум парам ее зажимов, называется 4х-П, Рис.1.1.


1



1’

Рис.1.1. Схема 4х-П. Его токи и напряжения.


Понятием 4х-П пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями на входе «1-1’» и на выходе «2-2’».

В качестве 4х-П могут быть представлены: трансформатор, выпрямитель, электрический фильтр и другие устройства с двумя парами зажимов.

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные. В составе активных 4х-П имеются источники энергии. Пассивные 4х-П не содержат источников энергии.

Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Если в состав 4х-П входит хотя бы один нелинейный элемент, то такой4х-П называется нелинейным. В данной работе рассматриваются только линейные 4х-П.

По схеме внутренних соединений различают Г-образные, Т-образные, П-образные и другие 4х-П, Рис.1.2.




Z2



Рис.1.2. Электрические схемы 4х-П.


Основной смысл теории 4х-П заключается в том, что, пользуясь некоторыми обобщенными параметрами, можно находить ток и напряжение на выходе 4х-П, не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы.


1.2 Системы уравнений четырехполюсников


Уравнениями 4х-П называют комплексные уравнения, связывающие комплексные действующие значения токов и напряжений на его входе и выходе.

Линейный пассивный 4х-П, естественно, описывается линейными уравнениями.

Из четырех величин характеризующих 4х-П, две должны быть заданы, а две другие определяются из уравнения 4х-П. Всего, таким образом, может быть составлено шесть форм записи уравнений.

Если 4х-П выполняет роль передаточного звена между источником и приемником электрической энергии, то обычно пользуются уравнениями в форме А:


(1.1)




В этих уравнениях А11, А12, А21, А22 называются коэффициентами формы А. Они, в общем случае, являются комплексными числами, модули которых зависят от частоты.

Физический смысл коэффициентов формы А можно пояснить, если мысленно выполнить опыты холостого хода и короткого замыкания.

В режиме холостого хода

. Уравнение (1.1.) принимает следующий вид:

Отсюда получаем:




- отношение входного напряжения к выходному в режиме холостого хода;




- передаточная проводимость в режиме холостого хода.

В режиме короткого замыкания . Уравнения (1.1) принимают вид:




Отсюда получаем:



- передаточное сопротивление в режиме короткого замыкания;


- отношение тока на входе к току на выходе в режиме короткого замыкания.

Основное свойство коэффициентов формы А состоит в том, что определитель, составленный из этих коэффициентов, равен единице:

(1.2)




Из этого уравнения следует, что для составления системы (1.1) в форме А необходимо и достаточно определить только любые три коэффициента. Четвертый коэффициент определяется из (1.2).

Рассмотрим Г-образный 4х-П, изображенный на Рис.1.3, и определим для него коэффициенты формы А.



1 2



1’ 2’

Рис.1.3. Схема Г-образного 4х-П.


При определении коэффициентов формы А будем считать, что комплексные сопротивления Z1 и Z2 заданы.

Проведем опыт холостого хода: зажимы 2-2’ - разомкнуты,

В этом случае ток на входе и напряжение на выходе определяются по закону Ома в комплексной форме:




Эти выражения можно записать так:


Отсюда получаем значения А11 и А21, выраженные через сопротивления Z1 и Z2:




Теперь проведем опыт короткого замыкания: зажимы 2-2’ закорочены,

При этом в цепи осталось только одно сопротивление Z1 и, следовательно:




Таким образом, коэффициенты формы А Г-образного 4х-П можно представить в виде следующей матрицы


(1.3)





Аналогичным образом можно получить матрицу коэффициентов формы А для Т-образного4х-П:



(1.4)





Кроме формы А (1,1) существуют еще пять форм записи уравнений 4х-П. Приведем еще две формы.

Форма Z.





Форма Y.





Полный перечень форм записи уравнений 4х-П приводится в учебниках, задачниках и справочниках по ОТЦ.

Если известны коэффициенты хотя бы одной формы записи уравнений 4х-П, то можно найти коэффициенты любой другой формы, решив систему уравнений, например (1,1) относительно искомых токов или напряжений.


1.3 Входное сопротивление, сопротивления холостого хода и короткого замыкания


Рассмотрим произвольный 4х-П с известными коэффициентами формы А, который нагружен активным сопротивлением R, Рис.1.4.



1


R

1’

Рис.1.4. Схема 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R

Определим входное сопротивление 4х-П Рис.1.4., т.е. сопротивление со стороны зажимов 1-1’.

По закону Ома в комплексной форме входное сопротивление есть отношение входного напряжения к входному току (1.1):


(1.5)



Полученное выражение входного сопротивления показывает, что 4х-П может быть применен для преобразования сопротивления между источником и приемником.

Сопротивление холостого хода 4х-П представляет собой частный случай входного сопротивления (1.5) при





Сопротивление короткого замыкания получается из (1.5) при




1.4 Передаточная функция четырехполюсника


При проектировании радиотехнических устройств широко применяются электрические фильтры, которые удобно рассматривать как 4х-П, предназначенные для передачи сигналов от входа к выходу с определенной избирательностью.

Передаточной функцией по напряжению называется отношение выходного напряжения к входному:



Модуль этого отношения представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а аргумент – фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Эти характеристики являются основными при выборе электрических фильтров.

Амплитудно-частотная характеристика показывает, во сколько раз выходное напряжение меньше (или больше) входного, ФЧХ дает сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями.

Определим АЧХ и ФЧХ произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А, нагруженного активным сопротивлением R, Рис.1.4. С этой целью запишем первое уравнение системы (1.1) в следующем виде:

(1.6)




Поскольку коэффициенты формы А, в общем случае, являются комплексными числами, зависящими от частоты, постольку выражение в скобках (1.6) можно записать в алгебраической форме:




где а(ω) – действительная часть;

b(ω) – мнимая часть.

После этого связь входного и выходного напряжений (1.6) можно выразить следующим образом:

(1.7)




Для определения ФЧХ 4х-П за начало отсчета сдвига фаз между входным и выходным напряжениями примем вектор выходного напряжения , который направим по оси абсцисс, т.е. горизонтально.

При таком выборе начала отсчета положение вектора на комплексной плоскости целиком определяется величинами а(ω)и b(ω) и их знаками:



(1.8)









Расчет ФЧХ по (1.8) дает сдвиг фаз, выраженный в радианах. Ключ для определения этого угла показан на Рис.1.5:


j


φ


0 +


-j

Рис.1.5. Ключ для определения сдвига фаз между входным и выходным напряжениями


На основании (1.7) комплексная передаточная функция по напряжению произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А и нагруженного активным сопротивлением R, принимает вид:


(1.9)



Модуль передаточной функции 4х-П, т.е. его АЧХ:

(1.10)




Таким образом, по формулам (1.8) и (1.10) можно рассчитать АЧХ и ФЧХ любого 4х-П при известных коэффициентах формы А и нагрузке R.


Пример 1.1. Задана электрическая схема Г-образного 4х-П (Рис.1.6) и его параметры R, L, C. Данный 4х-П подключен к источнику синусоидального напряжения. Необходимо найти формулы для расчета АЧХ и ФЧХ этого 4х-П.


L

1 2

Z1


Z2 C R





1’ 2’


Рис.1.6. Электрическая схема г-образного 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R


Решение. Комплексные сопротивления плеч 4х-П:




Коэффициенты формы А (1.3):





Комплексная передаточная функция:




Модуль передаточной функции:

(1.11)




где


Фазо-частотная характеристика



(1.12)




Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов по формулам (1.11), (1.12) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного 4х-П, изображенного на Рис.1.6.


1.5 Каскадное соединение четырехполюсников


Рассмотрим так называемое каскадное соединение 4х-П (Рис.1.7), при котором входные зажимы каждого последующего 4х-П присоединяются к выходным зажимам предыдущего.





Рис.1.7. Каскадное соединение 4х-П


Эти два 4х-П, взятые вместе, можно рассматривать как один эквивалентный.

Определим параметры эквивалентного 4х-П через известные параметры первого и второго четырехполюсников.

Пусть заданы матрицы коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П.

Из теории известно, что матрица коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П равна произведению матриц отдельных 4х-П:




Это правило, распространяется на случай каскадного соединения любого числа 4х-П. При этом матрицы, подлежащие перемножению, записываются в порядке следования 4х-П, т.к. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.


1.6 Одноэлементые четырехполюсники


Простейшими 4х-П являются одноэлементные 4х-П, состоящие из последовательного (Рис.1.8а) и параллельного (Рис.1.8б) двухполюсника.




Z1 Z2


а) б)

Рис.1.8. Одноэлементный 4х-П


Матрицы коэффициентов формы А одноэлементных 4х-П:





С помощью этих матриц М1 и М2 можно получить коэффициенты формы А любого 4х-П, построенного по лестничной схеме. Для этого необходимо перемножить матрицы М1 и М2 столько раз, сколько раз встречаются параллельный и последовательный 2х-П.

Например, коэффициенты формы А Г-образного 4х-П получаются после перемножения матриц М1 и М2 (см.1.3):