Моделирование электрических цепей в системе Mathcad (47653)

Посмотреть архив целиком













Учебное пособие


"Моделирование электрических цепей в системе MathCAD"




Введение


Большинство проблем, связанных с анализом схем электрических цепей, решается в два этапа. Первый этап заключается в составлении уравнений электрической цепи в форме, позволяющей использовать законы Кирхгофа и характеристики элементов, входящих в схему. Полученные на этом этапе уравнения представляют математическую модель цепи. Второй этап заключается в решении этих уравнений путем подходящих аналитических или численных методов. При машинном анализе электрических схем оба этапа могут выполняться ЭВМ, а программу общего анализа часто называют машинной моделью.

В настоящее время имеется достаточно много пакетов программ (PSpice, Electronic Workbench, P-Cad) для решения электрических (электронных) схем.

Любая такая программа машинного анализа схем признает и допускает лишь базовый на6ор схемных элементов, для которых она была разработана.

Чем больший базовый набор допускает программа, тем более многофункциональной она становится.

В случае, если схема содержит элементы, не входящие в базовый набор, следует заменить каждый такой элемент некоторой «эквивалентной схемой» на основе базовых элементов. Это часто невозможно, однако, в большинстве практических случаев считается возможным заменить каждый не допускаемый элемент «почти эквивалентной схемой», называемой схемной моделью. При разработке схемной модели необходимо, чтобы она имела такое же количество полюсов, что и рассматриваемый элемент, состояла лишь из элементов, входящих в базовый набор, чтобы результирующая схема аппроксимировала характеристики соответствующего элемента с переменной точностью.

Выбор наиболее подходящей модели зависит от ее правильного соответствия режима работы цепи: динамическому переходному режиму, установившемуся синусоидальному режиму или режиму постоянного тока.

Для синтеза нелинейных моделей по переменному току возможны два подхода, которые качественно согласуются с режимом работы реальных элементов: это физический метод и метод «черного ящика».

В физическом методе делается попытка преобразовать физическую структуру и механизм работы данного прибора (элемента) в схемную модель.

В методе «черного ящика» полная характеристика схемной модели и моделируемого элемента, полученная экспериментально, должны совпадать с заданной степенью точности. При этом сначала строится статическая модель, а затем для построения модели по переменному току к ней добавляются паразитные ёмкости и индуктивности в существенно важных местах и нет необходимости понимать внутренний физический механизм работы прибора.

Успешное моделирование элементов цепи и создание их схемных моделей позволяет разработать электрическую схему, состоящую только из базовых элементов, которая используется при формировании математической модели (системы уравнений, адекватно описывающей процессы рассматриваемой цепи).

Использование пакета MathCAD в практикуме по решению задач электрических цепей позволяет при освоении курса разделить этапы формирования уравнений и численного их решения, избавляя от рутинных вычислений.

Самостоятельное формирование (моделирование) уравнений, основанных на топологии, способствует их успешному освоению, а возможность изменения численных методов их решения – подходящему их выбору.

Такой подход может быть плодотворным при освоении методов анализа электрических цепей и разработке новых.



1. Элементы теории матриц


    1. Определение матрицы


Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Элемент с номерами ij матрицы А, аij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца:


. (1.1)


Матрица размера (mn) (или mn – матрица) имеет m строк и n столбцов. У квадратной матрицы m=n. Если аij=0 при ij, то квадратная матрица диагональная. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны 1, матрица называется единичной:


. (1.2)


Если у квадратной матрицы расположенные выше (ниже) главной диагонали элементы равны нулю, то матрица – нижне – (верхне-) треугольная:


. (1.3)


Если у матрицы лишь один столбец или строка, в этом случае она называется столбцовой или строчной, или вектор-столбец, или вектор-строка, или просто вектор.

Вектор-столбец:


. (1.4)


Вектор-строка:


. (1.5)


Матрица АТ называется транспонированной к А, если элемент аij матрицы А равен элементу аji матрицы АТ для всех i и j

Пример 1.1. Если .

Матрица А называется симметричной, если А=АТ, в противном случае – несимметричной.

При А=-АТ – матрица кососимметричная.


1.2 Арифметические операции над матрицами


1.2.1 Сложение

Сумма матриц А и В


С = А + В (1.6)


получается сложением каждого элемента матриц А и В одного размера mn, т.е. для всех i и j.

Операция сложения матриц коммутативна


А + В = В + А (1.7)


и ассоциативна


А + (В + С) = (А + В) + С, (1.8)


а также


(А + В)Т = АТ + ВТ. (1.9)


1.2.2 Умножение матриц

Произведение С = АВ может быть получено тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Если А размера mt и В размера tn, то матрица С = АВ определяется формулой


. (1.10)


Заметим, что в общем случае АВ ≠ ВА.

Если АВ=ВА, то матрицы коммутирующие или перестановочные.

Умножение обладает свойствами:


А(ВС) = (АВ) С (1.11)


ассоциативности и


(А+В) С=АС+ВС и А(В+С)=АВ+АС (1.12)


дистрибутивности.


1.2.3 Умножение на скаляр

Умножение матрицы (А) на скаляр b означает, что каждый элемент матрицы умножается на скаляр


(1.13)


1.2.4. Вычисление определителей

Пусть А – квадратная матрица порядка n, n>1:


.


Определителем квадратной матрицы А порядка n, n>1 называется число



где – определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-того столбца.

Формулу называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число называется алгебраическим дополнением элемента a1j.


1.2.5 Обращение матрицы

Если А и В-две квадратные матрицы порядка n, такие, что


АВ=Е, (1.14)


то говорят, что В-матрица, обратная к А, и обозначается через


В=А-1 , (1.15)


заметим, что АА-1-1А=Е,


(1.16)


где D=detА (определитель матрицы А); – алгебраическое дополнение элемента аij., а Мij минор к элементу aij (определитель, полученный из А удалением i-й строки и j-ого столбца.

Обращение обладает свойствами:


(1.17)


А-1 существует, если det A0.

Если det A=0, то матрица особенная.


1.3 Матричное представление линейных уравнений


Система линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения:


АХ=В. (1.18)


Ее решение получаем, умножая обе части равенства слева на А-1:


А-1АХ=1Х=А-1В,


то есть:


Х=А-1В. (1.19)


Это удобный способ выразить решение Х, но существуют методы решения значительно лучше, чем явное формирование матрицы А-1 и умножение ее на В.


1.4 Используемые инструменты MathCAD


Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции:

определение размеров матрицы;

ввод нижнего индекса;

вычисление обратной матрицы;

вычисление определителя матрицы: ;

вычисление длины вектора |х|, |х|2=;

поэлементные операции с матрицами: если А={аij}, B={bij}, то ;

определение столбца матрицы: М<j>j-й столбец матрицы;

транспонирование матрицы: М={mij}, MT={mji},

вычисление скалярного произведения векторов: ;

вычисление векторного произведения двух векторов: ab=(a2b2a3b2 a2b1 a1b2 a2b1);

вычисление суммы компонент вектора: ;

определение диапазона изменения индекса переменной;

визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции для матрицы.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix (m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности mn, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f (i, j) функции f (x, y);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment (A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

staсk (А, В) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);


Случайные файлы

Файл
TCP-IP.doc
157921.rtf
BILL1.DOC
27596-1.rtf
91759.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.