задача 99 (задача 99)

Посмотреть архив целиком

ЗАДАНИЕ Д12-99

Дано: m1= 10 кг, m3= 6 кг, m4= 4 кг, с1= 1000 Н/м. 1,2 м, , R1= 0.4 м, r1=0,2 м, R2= 0,5 м, r2=0,3 м,.

Найти: частоту k и период малых колебаний системы около положения равновесия и значение ст.

РЕШЕНИЕ:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол отклонения стержня 3 от равновесного положения (при равновесии =0, s5=0, sK=0). Рассматривая малые колебания считаем угол малым.

Т.к. все действующие на систему силу потенциальны (силы тяжести и упругости), выразим обобщенную силу через потенциальную энергию системы. Тогда

, где (1)

2. Кинетическая энергия системы .

Т.к. колесо 1 и стержень 3 вращаются вокруг оси, а груз 4 движется поступательно, то

;, где , .

Выразим все скорости через обобщенную скорость . Тогда . Ввиду малости можно считать, что . Отсюда и . Следовательно, или , где . Отсюда

, и . (2)

3. Потенциальная энергия системы. Для пружины , где – удлинение (сжатие) пружины, а для поля сил тяжести , где – координата ц. тяжести (ось Z направлена вертикально вверх).

Для всей системы

Учтем, что , а .. Для стержня . Разложив в ряди сохранив член с , получим и . Таким образом

.

4. Определим обобщенную силу Q и ст. . (3)

Т.к. при равновесии, когда =0 должно быть и Q=0, то и отсюда .

Тогда