задача 06 (задача 06)

Посмотреть архив целиком


ЗАДАНИЕ Д12-06

Дано: m1= 12 кг, m3= 8 кг, m4= 4 кг, с3= 1200 Н/м. R1= 0.4 м, r1=0,2 м, R2= 0,5 м, r2=0,3 м,. АВ=, 1,2 м,

Найти: частоту k и период малых колебаний системы около положения равновесия и значение ст.

РЕШЕНИЕ:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол отклонения стержня 3 от горизонтального положения (при равновесии =0, sА=0). Рассматривая малые колебания считаем угол малым.

Т.к. все действующие на систему силу потенциальны (силы тяжести и упругости), выразим обобщенную силу через потенциальную энергию системы. Тогда

, где (1)

2. Кинетическая энергия системы .

Т.к. колеса 1, 2 и рейка 3 вращаются вокруг оси, то

; ; , где , .

Выразим все скорости через обобщенную скорость . Тогда , , и ; . Следовательно, или , где . Отсюда

, и . (2)

3. Потенциальная энергия системы. Для пружины , где – удлинение (сжатие) пружины, а для поля сил тяжести , где – координата ц. тяжести (ось Z направлена вертикально вверх).

Для всей системы

Учтем, что , , . Таким образом

.

4. Определим обобщенную силу Q и ст. . (3)

Т.к. при равновесии, когда =0 должно быть и Q=0, то и отсюда .

Тогда

5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляем в (1) значения производных (2) с учетом (3) получаем

или . Обозначим