Устойчивость по Ляпунову (86085)

Посмотреть архив целиком

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»



Математический факультет


Кафедра дифференциальных уравнений






Дипломная работа

Устойчивость по Ляпунову














Гомель 2007



Оглавление


Введение

Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова

Устойчивость по Ляпунову

Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова

Методы построения функций Ляпунова

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем

Развитие метода функций Ляпунова

Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка

Заключение

Список использованных источников



Введение


Понятие функций Ляпунова появилось в связи с развитием теории устойчивости, начало которой положили труды великого русского математика А.М. Ляпунова. Рождение теории устойчивости как самостоятельной научной дисциплины можно отнести ко времени появления докторской диссертации А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", впервые опубликованной в Харькове в 1892 году. За последние годы наблюдается бурный рост этой теории, вызванный потребностями развивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования и управления.

Развитие теории устойчивости движения осуществляется двумя путями: во-первых, расширением круга задач и, во-вторых, созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Метод функций Ляпунова (известный также как второй или прямой метод Ляпунова) является одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости, чем вызвано и его широкое применение в теории управления. Значение его далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной системы позволяет решать целый комплекс задач, которые имеют важное прикладное значение, например, получение оценки изменения регулируемой величины, оценки времени регулирования, оценки качества регулирования, оценки области притяжения (множества всех начальных возмущений, исчезающих во времени), оценки влияния постоянно действующих возмущений и другие.

Функции Ляпунова позволяют решать вопросы устойчивости в "большом", т.е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. С помощью функций Ляпунова решается проблема существования или отсутствия периодических решений, устанавливается ограниченность и продолжимость всех решений заданной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В связи с широким применением функций Ляпунова возник вопрос универсальности этого метода. Решением этой задачи занимались Я.П. Персидский, Н.Н. Красовский, Е.А. Барбашин, Я. Курцвейль, Ж.Л. Массера и другие математики. Было установлено, что в теории устойчивости этот метод универсален для широкого круга задач. В этой связи возникла задача о методах построения функций Ляпунова. Следует заметить, что известные методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения достаточных условий устойчивости, не являются достаточно эффективными, поскольку каждый из них приспособлен для исследования конкретных систем. Поэтому проблему построения функций Ляпунова для нелинейных систем в настоящее время нельзя считать решенной.

Данная работа содержит исследования вопроса о применении функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений.



Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова


В данной работе мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Напомним, что система обыкновенных


??()


дифференциальных уравнений называется нормальной. В этой системе --- независимая переменная, --- неизвестные функции этой переменной, а --- функции от переменной, заданные на множестве пространства размерности , в котором координатами точки являются числа . В дальнейшем будем предполагать, что функции


??()


непрерывны на открытом множестве ; также будем предполагать, что их частные производные


??()


существуют и непрерывны на множестве . Следует заметить, что частные производные (??), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным , а не по независимой переменной .

Решением системы уравнений (??) называется система непрерывных функций


??()

определенных на некотором интервале и удовлетворяющих системе (??). Интервал называется интервалом определения решения (??) (случаи , не исключаются). Считается, что система функций (??) удовлетворяет системе уравнений (??), если при подстановке в соотношение (??) вместо функций (??) соотношения (??) превращаются в тождества по на всем интервале и чтобы правые части уравнений (??) были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами должна принадлежать множеству для всех значений на интервале .


Устойчивость по Ляпунову


Рассмотрим систему дифференциальных уравнений


??()


Выделим некоторое решение системы (??) и назовем его невозмущенным решением.

Решение назовем устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого можно указать такое, что из неравенства следует неравенство при . Здесь через обозначено любое другое решение системы (??), определяемое начальным условием . Решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое , что при будем иметь


??()


Пример Решение уравнения не является устойчивым ни справа, ни слева, т.к. каждое решение , где (), перестает существовать при (рис. 1).



Пример. Решение уравнения неустойчиво справа, т.к. все решения , , , приближаются к при . Каждое решение так же, как и решение , является асимптотически устойчивым справа (рис. 2).



Проведем в системе (??) замену переменных . Новая система будет иметь вид


вводя обозначение



получим систему


??()


где при . Решение перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия новой системы. Задача устойчивости решения переходит, таким образом, в задачу устойчивости нулевого (тривиального) решения системы (??).

Приведем определение устойчивости нулевого решения системы (??).

Решение системы (??) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого можно указать такое, что из неравенства следует неравенство при . Если же, кроме того, всякое решение , начальные данные которого определяются условием , обладает свойством , то нулевое решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова.


Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова


Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:


??()


Рассмотрим функцию . Эта функция положительна всюду, кроме точки , где она обращается в нуль. В пространстве переменных уравнение определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое . Построим на плоскости круг радиуса . Возьмем одну из линий уровня --- эллипс, целиком лежащий внутри круга . Построим другой круг целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).



Пусть начальная точка лежит внутри .

Рассмотрим функцию двух переменных . Легко видеть, что если вместо подставить решение системы (??), то полученная таким образом, функция от будет представлять собой полную производную функции вдоль траектории решения системы (??). Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в , неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть , так как иначе между и значением , при котором она попадет на границу , найдется значение , для которого , поскольку . То, что ни одна траектория, начинающаяся в , не покидает ни при одном круг , означает устойчивость тривиального решения.

Итак, мы должны проверить знак вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция была неположительной как функция двух независимых переменных по крайней мере в некоторой окрестности . Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку всюду на плоскости , а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки , где она обращается в нуль, а выражение было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы (??).


Случайные файлы

Файл
12521-1.rtf
787.rtf
116243.rtf
24885-1.rtf
13746.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.