Положительные и ограниченные полукольца (85930)

Посмотреть архив целиком

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Положительные и ограниченные полукольца

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Ворожцов Вячеслав Андреевич _____

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных ________

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов _______

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина


Киров

2005



Содержание

Введение 3

Глава 1. Основные понятия теории полуколец 4

1.1. Определение полукольца. Примеры. 4

1.2. Дистрибутивные решетки 5

1.3. Идеалы полуколец 6

Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца. 7

2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7

2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец 7

Библиографический список 16




Введение

Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.


Глава I. «Основные понятия теории полуколец».

1.1. Определение полукольца. Примеры.

Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

  1. (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

  • Ассоциативность: ;

  • Коммутативность: ;

  • Существование нейтрального элемента: .

  1. (S,·) – полугруппа:

  • Ассоциативность: ;

  1. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

  • левая дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас;

  • правая дистрибутивность: (а+в)с=ас+вс.

  1. Мультипликативное свойство 0:

  • .

Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операция в нем коммутативна: .

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):

Примеры полуколец:

  1. <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;

  2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;

  3. Двухэлементные полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);

  4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;

  5. Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум и минимум двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.

Полукольцо с импликацией называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняется равенство , называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.


1.2. Дистрибутивные решетки.

Пусть L – произвольное множество. Введем на L отношение положив,

.

Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.

Отношение на множестве L является отношением порядка.

Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент , что для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n – произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.

Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:

Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения

,;

Решетка называется дистрибутивной, если для любых , ограниченной, если она имеет 0 и 1.

1.3. Идеалы полуколец.

Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, bI, sS элементы a+b и sa (as) принадлежат I.

Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .

Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если влечет M=A или A=S для каждого идеала A .

Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:

1. {0} – нулевой идеал;

2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;

3. Идеал на полукольце : ;

4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .




Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».

2.1. Определение, примеры и основные свойства.

Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S, т.е..

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

  1. ограниченные дистрибутивные решетки;

  2. полукольца непрерывных R+ - значных функций;

  3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, если для любого выполняется . Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

  1. ограниченные дистрибутивные решетки;

  2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S – положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S

(a+b M) (a M & b M).

Доказательство:

12. Пусть для произвольных и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:

.

В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

21. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда

,т.к.. Получили y=1 и значит .

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.

Доказательство.

Полукольцо положительно, следовательно, элемент - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

и – обратимы, тогда их произведение также обратимо , значит обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

  1. S – дистрибутивная решетка.

Доказательство.

. Очевидно.

. По свойству 2 следует , тогда:

и .

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

и


VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:


Случайные файлы

Файл
55872.rtf
diplom.doc
99551.rtf
СТ СЭВ 383-87.doc
17476.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.