Теореми Чеви і Менелая та їх застосування (85868)

Посмотреть архив целиком

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет

Механіко-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу









ДИПЛОМНА РОБОТА БАКАЛАВРА

ТЕОРЕМИ ЧЕВИ І МЕНЕЛАЯ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ




Виконавець Керівник роботи

студентка групи ММ-01-1 к.ф.-м.н., доцент

Бондаренко Н.С. Поляков О.В.


Допускається до захисту


Завідувач кафедрою Рецензент

доктор фіз.-мат. наук, професор к.ф.-м.н., доцент

Бабенко В.Ф. Великін В.Л.




м. Дніпропетровськ

2006 р.


РЕФЕРАТ


Дипломна робота містить 87 стор., 54 рис., 20 джерел.

Обєктом дослідження є теореми Чеви та Менелая на площині та в просторі.

Мета роботи – вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач двома способами: традиційним і за допомогою теорем Чеви та Менелая.

Одержані висновки та їх новизна – теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. Теореми Чеви та їх наслідки використовується при розвязуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці. Розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі. В дипломній роботі розв’язано 50 задач.

Результати досліджень можуть бути застосовані при викладанні теми “Теореми Чеви та Менелая” в математичних класах середніх шкіл, гімназіях та ліцеях, при позакласній роботі з учнями (на заняттях математичних гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).

Перелік ключових слів: ТЕОРЕМА ЧЕВИ, ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ, ТРИКУТНИК, ТЕТРАЕДР, ТОЧКА, ПРЯМА, СІЧНА, ВІДРІЗОК.


ANNOTATION


This degree thesis of the 5th year student (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with Cheva’s and Menelay’s theorems. The work is interesting for the students and post-graduates students of mathematical specialties.


Bibliography: 20.


ЗМІСТ


ВСТУП

РОЗДІЛ 1. Теорема Менелая для трикутника

    1. Орієнтовані відрізки

    2. Теорема Менелая

    3. Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса

    4. Застосування теореми Менелая для розвязання задач

РОЗДІЛ 2. Теорема Менелая для тетраедра

РОЗДІЛ 3. Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів

3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів

3.2 Застосування теорем Чеви для розвязання задач

РОЗДІЛ 4. Теореми Чеви та Менелая на площині

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ



ВСТУП


Геометрія починається з трикутника. Якщо взяти шкільний підручник з геометрії, то ми побачимо, що перші змістовні теореми стосуються саме трикутника. Все попереднє – лише аксіоми, означення або найпростіші з них наслідки. На початку свого виникнення планіметрія була “геометрією трикутника”. “Геометрія трикутника” може пишатися теоремами, які носять ім’я Ейлера, Торрічеллі, Лейбниця. На рубежі 19-20 століть завдяки великій кількості робіт, присвячених трикутнику, був створений цілий новий розділ планіметрії – “Нова геометрія трикутника”. Багато з цих робіт зараз виглядають малоцікавими, недосконалими; термінологія, яка використовувалась в них майже забута й зустрічається тільки в енциклопедіях. Але деякі теореми “Нової геометрії” продовжують жити й досі. Двом таким теоремам – Чеви та Менелая – присвячена дипломна робота.

Теореми Чеви та Менелая можна назвати “двоїстими” теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розвязанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “зясувати відношення” між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.

Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розвязанні досить складних задач.

Дипломна робота присвячена розробці методики викладання теми “Теореми Чеви та Менелая та їх застосування”.

Робота складається із вступу, 4 розділів, висновків та списку використаної літератури. Кожен розділ побудовано за такою структурою. На початку розділу наводиться необхідний теоретичний матеріал, потім викладено задачі з докладним розвязанням, а наприкінці наведено задачі для самостійної роботи з розвязанням та відповідями.

В першому розділі роботи “Теорема Менелая для трикутника” сформульовано й доведено теорему Менелая для трикутника, наведено нетривіальні приклади використання теореми Менелая (доведено теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса), продемонстровано ефективність використання теореми на приклади розвязання задач двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая.

В другому розділі “Теорема Менелая для тетраедра” сформульовано й доведено аналог теореми Менелая в просторі, наведено приклади розв’язання складних стереометричних задач.

В третьому розділі “Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів” сформульовані теореми Чеви та наслідки з них, наведено розв’язані задачі.

В четвертому розділі “Теореми Чеви та Менелая для площини” наведено інший підхід до формулювання теорем Чеви та Менелая.

Всього в роботі розвязано 50 задач.

Дипломна робота може бути використана викладачами ліцеїв та гімназій при викладанні спеціальних курсів, а також при підготовці учнів до олімпіад з математики.


РОЗДІЛ 1

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ДЛЯ ТРИКУТНИКА


1.1 Орієнтовані відрізки


Нехай на прямій задані відрізки та . Розглянемо вектори та (див. рис. 1). Зі шкільного курсу геометрії відомо, що існує таке число , що . Якщо , то вектори називають однаково спрямованими, а якщо , то говорять , що вектори протилежно спрямовані (див. рис. 1.1а та 1.1б відповідно).


а) б)

Рис. 1.1


При цьому відрізки та ми будемо називати однаково спрямованими, якщо і протилежно спрямованими, якщо . Саме число будемо називати відношенням орієнтованих відрізків (при це відношення є просто відношенням довжин відрізків, а при – відношенням довжин, взяте зі знаком мінус).

В подальшому всі відношення виду будемо розуміти як відношення орієнтованих відрізків.

Якщо відрізки і лежать не на одній прямій, а на паралельних прямих, то також можна говорити про однаково і протилежно орієнтовані відрізки і їхні відношення (див. рис. 1.2).

Рис. 1.2


Наприклад, нехай

і – точки площини, а і – перпендикуляри, опущені з цих точок на деяку пряму (див. рис. 1.3).


Рис. 1.3


Тоді, якщо точки і лежать по одну сторону від прямої , то відрізки й орієнтовані однаково (див. рис. 1.3а), а якщо по різні сторони – протилежно (див. рис. 1.3б), при цьому в обох випадках .

Зазначемо такі важливі властивості відношень:


1) 2) .


Нехай тепер на прямій задана ще третя точка – . На рисунку 1.4 показано, якими можуть бути відношення в залежності від положення точки на прямій . Так, якщо лежить на відрізку , то ; якщо точка лежить ліворуч від точки , то ; якщо точка лежить праворуч від точки , то .

Отже, задаючи відношення орієнтованих відрізків ми однозначно визначаємо положення точки на прямій .


Рис. 1.4


Зауваження. Точки , для якої , не має на прямій (можна приєднати до прямої нескінчено удалену точку і вважати, що саме для неї ). Слід зазначити, що просте відношення довжин відрізків неоднозначно задає точку на прямій – таких точок, як правило, дві (за виключенням середини відрізка , для якої ).


1.2 Теорема Менелая


Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.

Теорема Менелая. Нехай задано трикутник і три точки на прямих і відповідно. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли

(1.1)


Зауваження. Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так:



Тут всі відношення, що перемножуються – це відношення орієнтованих відрізків .


Рис. 1.5


Доведення.

Необхідність. Нехай пряма перетинає прямі та в точках і відповідно (див. рис. 1.5) і – перпендикуляри, які опущено з точок на пряму . Як було доведено раніше,


.


Перемножаючи записані відношення, маємо

.


Достатність. Проведемо пряму . Ми повинні довести, що ця пряма перетинає в точці . Насамперед доведемо, що дійсно перетинає . Припустимо, що паралельна (див. рис. 1.6). Але тоді



Звідси та з рівності (1.1) випливає , що неможливо.

Нехай – точка перетину прямих та . По вже доведеному



Рис. 1.6


Порівнюючи з умовою, одержуємо, що


.

Оскільки мова йде про відношення орієнтованих відрізків, то , що потрібно було довести довести. Отже, теорема Менелая повністю доведена.

Зауваження 1. При розв’язанні конкретних обчислювальних задач, якщо відомо, що точки і лежать на одній прямій, можна не турбуватися про запис відношень орієнтованих відрізків в формулі (1.1), а обмежитися відношеннями їх довжин.

Зауваження 2. Якщо замінити в (1.1) орієнтовані відношення відношеннями довжин, обернена теорема перестає бути вірною, тобто точки і , для яких виконується (1.1), не повинні лежати на одній прямій.

Наприклад, нехай точки взяті на сторонах трикутника так, що , і – середина сторони , тоді


,


але точки не лежать на одній прямій.


1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса


Нетривіальними прикладами використання теореми Менелая є доведення наступних теорем Дезарга, Паппа, Паскаля.

Теорема Дезарга є однією з перших та важливіших теорем проективної геометрії. Вона була доведена в першій половині XVII століття французським математиком та інженером Жераром Дезаргом (1591-1661).

Теорема Дезарга. Трикутники та розташовані на площині так, що прямі мають спільну точку О (див. рис. 1.7). Нехай А – точка перетину пряміх та , В – точка перетину прямих та , С – точка перетинуц прямих та . Тоді точки лежать на одній прямій.


Рис. 1.7


Доведення.

З теореми Менелая для трикутника та прямої (точка лежить на , – на , – на ) випливає, що



Аналогічно, з трикутників та , які перетинаються прямими та відповідно, маємо


,


Перемножуючи виписані рівності, після скорочення одержуємо


Але точки лежать на сторонах або продовженнях сторін трикутника і згідно з теоремою Менелая лежать на одній прямій.

Теорема доведена.


Наступна теорема була доведена в другій половині ІІІ століття древнегрецьким математиком Паппом Александрійським.


Теорема Паппа. На одній з прямих, що перетинаються взяті точки , на іншій – точки (див. рис. 8а). Прямі , , перетинаються в точках відповідно. Тоді точки лежать на одній прямій.


Доведення.

Розглянемо трикутник , де – точка перетину прямих , – точка перетину прямих , – точка перетину прямих (див. рис. 8б). Точки лежать на прямих відповідно.



Рис. 1.8


Запишемо теорему Менелая для трикутника та пяти прямих , які перетинають сторони (або їх продовження) цього трикутника. Маємо


та пряма: ,

та пряма: ,

та пряма: ,

та пряма: ,

та пряма: .


Перемножуючи одержані рівності, знаходимо


,


отже, точки лежать на одній прямій. Теорема доведена.

Теорема Паскаля. Нехай шестикутник вписано в коло. Тоді точки перетину його протилежних сторін лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай – точки перетину прямих і , і , і відповідно, а – точки перетину прямих і , і , і відповідно (див. рис. 1.9). Необхідно довести, що лежать на одній прямій.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :


.


Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :


.


Рис. 1.9


Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :


.


Перемножуючи ці рівності, маємо



Використаємо властивості відрізків січних:


, , .

Звідси маємо


,


а оскільки знак кожного з шести співмножників відємний, то


,


тому


,


отже точки лежать на одній прямій.

Теорема доведена.


Теорема Гаусса. Середина відрізка, що зєднує точки перетину продовжень протилежних сторін чотирикутника, лежить на прямій, що проходить через середини діагоналей чотирикутника.


Рис. 1.10


Доведення

Нехай протилежні сторони чотирикутника перетинаються в точках та (див. рис. 1.10). необхідно довести, що середина відрізка , середини та діагоналей і чотирикутника лежать на одній прямій.

Через точки проведемо прямі, паралельні сторонам трикутника : , , .

Згідно з теоремою Фалеса ці прямі перетинають сторони трикутника в їх серединах . Таким чином, точки лежать на продовженнях сторін трикутника , сторони якого є середніми лініями трикутника . Для того, щоб довести, що точки лежать на одній прямій, достатньо довести співвідношення


.

В силу властивості середньої лінії трикутника


, .


Отже, . Аналогічно знаходимо , . Тоді добуток дорівнює . А цей добуток дорівнює –1 згідно з теоремою Менелая, яка застосовується до та прямої . Теорема доведена.


1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач


Задача 1.1 У трикутнику медіана ділить відрізок (точка належить стороні ) у відношенні 5:3 , починаючи від вершини . У якому відношенні відрізок ділить медіану

Розвязок.

1-й спосіб

Нехай



Введемо вектори .

Розкладемо вектор за неколінеарними векторами і :



Оскільки , то


,

.


Виходячи з єдиності розкладу вектора за неколінеарними векторами і , маємо:


,


Відповідь 3 : 1.


2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої



Виходячи з умови, маємо :



Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої



Тоді


Відповідь: 3 : 1.

Задача 1.2 У трикутнику відрізок ( належить стороні ) ділить медіану у відношенні 3:4, починаючи від вершини . У якому відношенні точка ділить сторону

Розвязок.

1-й спосіб



Проведемо

За умовою За теоремою Фалеса . Нехай , тоді



Відповідь: 3:8.


2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :



Тоді .


Відповідь: 3 : 8 .


Задача 1.3 Сторони трикутника поділено точками і так, що


.


Знайти відношення площі трикутника, обмеженого прямими і , до площі трикутника .

Розвязок.

1-й спосіб

Нехай

.



Використовуємо теорему синусів для трикутника :


(1.3.1)


З трикутника :


.

, тому

(1.3.2)


Поділимо почленно рівність (1.3.1) на рівність (1.3.2):


З (1.3.3)

З : (1.3.4)


Поділимо почленно рівність (1.3.3) на рівність (1.3.4):


,

(*)


Нехай .


З (1.3.5)

З : (1.3.6)


Поділимо почленно рівність (1.3.5) на рівність (1.3.6)



З (1.3.7)

З : (1.3.8)


Поділимо почленно рівність (1.3.7) на рівність (1.3.8):


,

,


Оскільки , то


(**)


Використовуючи співвідношення (*) і (**), запишемо:


.


Аналогічно одержимо


.


Використовуючи властивості площ, маємо:



Відповідь: 3:7.


2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :


(1.3.9)


Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :


(1.3.10)


Використовуючи (1.3.9) і (1.3.10) дістанемо:



Аналогічно



А далі розвязуємо, як в 1-му способі.


Відповідь: 3 : 7.


Задача 1.4 Висота рівнобедреного трикутника з основою поділена на три рівні частини. Через точку та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.


Розвязок.



Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :


,


,

Звідси см , см.


Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :


,


Звідси см, (см)


Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.


Задача 1.5 Через середину сторони паралелограма , площа якого дорівнює 1, і вершину проведено пряму, яка перетинає діагональ у точці . Знайти площу чотирикутника .


Розвязок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :

,


,



Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, то



Відповідь:


Задача 1.6. У трикутнику на стороні взято точку , а на стороні точки і так , що і . У якому відношенні пряма ділить відрізок .


Розвязок.


За умовою .

.



Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :


,

,

.


Відповідь: 11 : 3.


Задача 1.7 На сторонах і трикутника дано відповідно точки і такі , що .У якому відношенні точка перетину відрізків і ділить кожен з цих відрізків ?


Розвязок.

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :



.



,


Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :


,

,


Відповідь: , .


Задача 1.8 Ортоцентр трикутника (ортоцентр – точка перетину висот) ділить висоту навпіл. Довести , що , де – кути трикутника.

Доведення.

Нехай

- даний трикутник, - його ортоцентр, .



Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :



Виходячи з умови .

З .

З .

З .

Підставимо знайдені залежності в теорему Менелая:


,

,

,


що і треба було довести.


Задача 1.9 З вершини прямого кута трикутника проведено висоту , а в трикутнику проведено бісектрису . Пряма, що проходить через точку паралельно , перетинає у точці . Довести, що пряма ділить відрізок навпіл.


Розвязок.



Нехай , тоді , .

( - бісектриса).

.


Тому - рівнобедрений, .

Запишемо теорему Менелая для трикутника і прямої :



Трикутники і подібні,


.


Тоді


(1.9.1)


З подібності трикутників і запишемо:


(1.9.2)


З трикутника за властивістю бісектриси:


(1.9.3)


Порівнюючи співвідношення (1.9.1), (1.9.2), (1.9.3) маємо:



Підставимо знайдений результат у теорему Менелая :


,


Тобто , що і треба було довести.


Задачі для самостійної роботи


Задача 1.10 Нехай – медіана трикутника . На взята точка так, що . В якому співвідношенні пряма ділить площу трикутника ?

Розв’язок.



Відношення площ трикутників та дорівнює відношенню відрізків та Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ACD та прямої BP, маємо

,

, .


Відповідь: AP:PC=3:2.


Задача 1.11 Три кола різних радіусів розташовані на площині так, що жодне з них не лежить повністю в колі, яке обмежено іншим колом. Кожній парі кіл поставимо у відповідність точку перетину зовнішніх подвійних дотичних. Довести, що одержані три точки лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай радіуси кіл з центрами рівні відповідно . Тоді


,


так як кіла з центрами

и гомотетичні відповідно точки С, а відношення радіусів - коефіцієнт гомотетіі.



Аналогічно .

Таким чином , .


З теореми оберненої до теореми Менелая маємо, що точки А,В,С лежать на одній прямій.


Задача 1.12 В бісектриса поділяє в відношенні 2:1. В якому відношенні медіана поділяє цю бісектрису ?


Розвязок .

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої


.


Так як – медіана, то , звідси



Відповідь: .


Задача 1.13 В правильном трикутнику зі стороною точка середина , середина , , . Знайти .


Розвязок.



Площа правильного трикутника дорівнює .

Розглянемо трапецію , . Знайдемо висоту цієї трапеції:



Оскільки , то , звідки .

За умовою , де – трапеція з висотою , тоді


.


Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :


.


Застосовуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :


.


Оскільки