Редуцированные полукольца (85802)

Посмотреть архив целиком

Министерство Образования Российской Федерации


Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии





Выпускная квалификационная работа


«Редуцированные полукольца»




Работу выполнил студент

математического факультета

\Подпись\ ____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________


Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.


«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________




Киров, 2003.

План.

  1. Введение.

  2. Основные понятия, леммы и предложения.

  3. Доказательство основной теоремы.


























1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и  называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

  1. (S, +)  коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

  2. (S, )  полугруппа с нейтральным элементом 1;

  3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c  S;

  1. 0a = 0 = a0 для любого a S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

  1. S слабо риккартово;

  2.  a, bS (D(a)D(b)= =);

  3. все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

  4. все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P  M  Op=OM для  P Spec S и M Max S;

  5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

  6.  a, b S (ab = 0  Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b, c  S выполняется

abc = abc  acb = acb.

Определение 4. Элемент aS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = ab. Тогда

baba = baba и baba = baba,

откуда

baba + baba = baba + baba

или иначе

(ba)+ (ba)= baba + baba.

В силу редуцированности ba = ba, т.е.

ab = ab  ba = ba. (1)

Аналогично доказывается ba = ba  ab = ab.

Пусть ab = ab. Тогда с помощью (1) ba = ba, откуда bac = bac и acb = acb. Значит, имеем:

ab = ab  acb = acb, ba = ba  bca = bca. (2)

Пусть сейчас abc = abc. Тогда

abc = abc  acbc = acbc  acbac = acbac  acbacb = acbacb и

acbacb = acbacb  (acb)+ (acb)= acbacb + acbacb  acb = acb.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0  a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n  2, то c= 0 для k   с условием n  2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.


Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

+

a b 1

a

b

1

a b 1

b b b

1 b 1



a b 1

a

b

1

a a a

b b b

a b 1

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa  ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB  P влечёт A  P или B  P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a  P или b  P для a, b  S.


Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b  S \ P найдётся элемент s  S такой, что asb  P. Если S  коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b  P влечёт ab  P.

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, b  P. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t  aSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u,v,w S, то хотя бы для одного i  {1,…,k} a vb  P, ибо в противном случае каждое слагаемое uavbw лежит в P, и следовательно, t  P.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A P. Тогда найдётся a  A \ P. Предположим, что B P. Получим, что некоторый элемент b  B \ P и по условию asb  P для подходящего s S. Но тогда и AB P, и следовательно, P  первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется mсистемой, если 0 T, 1 T и для любых a, b  T найдётся такой s S, что asb  T.

Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где n   и a  0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0  T, 1 T и для a,a T с = 1S : aсa= a T. Таким образом, T является mсистемой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m-системой. И хотя дополнение до mсистемы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T  mсистема, а J  произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P  J, P  T =  и P  максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb  P для некоторых a, b  P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть m  (P + SaS)  T, r  (P + SbS)  T и msr  T для некоторого sS. Но, с другой стороны,

msr  (P + SaS)  (P + SbS)  P +SaSbS  P.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb  P неверно, и P  первичный идеал. Предложение доказано.


Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M  A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним mсистему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.


Определение 9. Для любого a  S множество

Ann aS = {t  S: (s  S) ast=0} называется аннулятором элемента a.

Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S.

Ann a ={s  S: as = 0}  правый идеал и Ann aS  Ann a.

Определение 10. Для любого идеала P множество Op = {s  S: (tP) sSt = 0} = {s  S: Ann sS P} называется Oкомпонентой идеала P.


Лемма 1. Op является идеалом для любого первичного идеала P.

Доказательство: Пусть a, b  Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u  P. В силу первичности P tsu  P для подходящего s  S. Для любого v  S


Случайные файлы

Файл
6358-1.rtf
150778.rtf
148655.rtf
100498.rtf
12229-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.