Композиции преобразований (85698)

Посмотреть архив целиком

Оглавление

Предисловие 3

Введение 4

§1. Композиции движений пространства. 4

    1. Основные композиции движений пространства. 4

    2. Композиции центральных симметрий пространства. 9

    3. Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства. 11

    1. Композиции осевых симметрий пространства. 12

    2. Применение композиций движений

пространства к решению задач. 16

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства 18

Литература 22


Предисловие


Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.















Введение


Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xX, конечно, yX и zX. Отображение  определим законом (x)=g(f(x)). Тогда отображение  является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: = gf.

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место равенство:

h◦(gf)=(hg)◦f.

2. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.


§1. Композиции движений пространства


    1. Основные композиции движений пространства


Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1. Найти композицию поворота Rl и переноса пространства при условии, что вектор и ось поворота l не параллельны.

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

Rl = SbSa , где al, bl, (a, b)= (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), abl=O и =SvSu , где uv, u. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда Rl=SvSuSbSa=SvSa . Если вектор не ортогонален оси l, то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b, т.е. равен . Композиция SvSa есть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых a и v, и вектором 2, где P=am, Q=vm, ml. Итак,

Rl =Rl , ml.

Если l, прямые a и v пересекаются, поэтому =, и искомая композиция является поворотом Rm . Если при этом  =, то имеем, что Rl = Sm, l, ml.
















m





l


















Q



















v





















P


a



O


u






b





Рис. 1


Задача 2. Найти композицию двух поворотов пространства RbRa.

Решение. Сначала найдём композицию RbRa двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a и b и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

Ra=Sh◦Su , Rb=Sv◦Sh , ua, ub, uha=A, vhb=B,

(u, h)=, (h, v)= (рис. 2). Тогда

RbRa=SvShShSu=SvSu. Оси u и v скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые a и b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий SvSu есть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр l прямых u и v, угол =2(u, v), а вектор =2, где P=ul, Q=vl.



















b




h
























a


B





v



u
















































A





l


u

























Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.