Билеты + решённые билеты по ангему (Билет3)

Посмотреть архив целиком

Билет№3

  • ОПР.Скалярным произведением двух векторов a и b называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. ab=|a||b|cosφ.

Скалярное произведение векторов можно выразить через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение abполучается перемножением длины вектора и ортогональной проекции вектора b на направление вектора а: ab=|a|прab. Аналогично при b ненулевом. Ab=|b|прba

Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой, то такие векторы называют ортоганальными. Если хотя бы один из векторов нулевой их скалярное произведение равно 0.

Свойства скалярного произведения: 1)свойство коммутативности: ab=ba 2)свойство ассоциативности:(λа)b= λ(ab) 3)Свойство дистрибутивности:(a+b)c=ac+bc 4)Свойство скалярного квадрата a2>=0, причем a2=0 тогда и только тогда, когда а=0

Вывод формулы вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе.

Пусть векторы a и b из V3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе ijk









Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса ijkозначает выполнение равенств: ij=ik=jk=0, i2=j2=k2=1. Таким образом ab=xaxb+yayb+zazb, т.е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат.


  • ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значения x1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

(матричная форма)










(Решение СЛАУ можно трактовать в виде линейной комбинации столбцов)


x1a1+…+xnan=b (векторная запись)


Т Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОК НЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстных x1,…,xn такие, что x1a1+…+xnan=b, где ai – столбцы матрицы А, b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждого j>k существуют такие







Поэтому столбец :

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. Поэтому Rg(A|b)=RgA.

ДОСТАТОЧНОСТЬ:Пусть Rg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.



Случайные файлы

Файл
KVALIF1.DOC
132493.rtf
11503-1.rtf
100049.rtf
115234.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.