Билеты + решённые билеты по ангему (билет1)

Посмотреть архив целиком

Билет№1

  • ОПР. Векторы а1,…,an называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентов α1,…,αn что α1a1+…+αnan=0. и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэф. не сущ. То векторы называют линейно независимыми.

ДОК. Если α1=…=αn=0, то, очевидно, α1a1+…+αnan=0. Имея это в виду, можем сказать так: векторы a1,…,an линейно независимы, если из равенства α1a1+…+αnan=0 вытекает, что все коэффициенты равны 0.

Т. Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

ДОК. НЕОБХОДИМОСТЬ: Пусть векторы a1,…,an линейно зависимы. Согласно опр слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например α1.Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть.Разделив полученное равенство на α1, получим: , т.е. представление вектора a1 в виде линейной комбинации остальных векторов а2,…,an. ДОСТАТОЧНОСТЬ: Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных: . Затем получим: , т.е. линейную комбинацию векторов а1,…,an с коэффициентами α1=1, , равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны 0, следовательно векторы линейно зависимы.


  • ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значения x1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

(матричная форма)










(Решение СЛАУ можно трактовать в виде линейной комбинации столбцов)


x1a1+…+xnan=b (векторная запись)


Т Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОК НЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстных x1,…,xn такие, что x1a1+…+xnan=b, где ai – столбцы матрицы А, b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждого j>k существуют такие







Поэтому столбец :

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. Поэтому Rg(A|b)=RgA.

ДОСТАТОЧНОСТЬ:Пусть Rg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.





Случайные файлы

Файл
151914.rtf
130269.rtf
147083.rtf
115918.rtf
26404-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.