Билеты + решённые билеты по ангему (билет2)

Посмотреть архив целиком

Билет№2

  • Любой ненулевой вектор пространства V1, называют базисом в V1. K. Любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов в пространстве V2 называют базисом в V2.Любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют базисом в V3.

ДОК единственности разложения векторов в базисе V2. Выберем в этом пространстве базис, т.е. два неколлинеарных вектора e1,e2.Согласно теореме о линейной зависимости эти три вектора и любой третий вектор x, будучи компланарными, линейно зависимы. Поэтому один из них является линейной комбинацией двух других. При этом можно утверждать, что вектор х выражается через е1 и е2. Действительно, запишем линейную комбинацию этих векторов: в которой один из коэффициентов не равен нулю. Сразу делаем вывод, что , так как в противном случае в равенстве слева можно опустить первое слагаемое, и мы получим, что векторы e1, е2 линейно зависимы. Но этого быть не может, так как они неколлинеарны. Так как , мы можем разделить равенство на а. В результате, перенося последние два слагаемых в правую часть, получаем представление вида: которое называют разложением вектора x в базисе e1,e2,а коэффициенты λ12 этого представления – координатами вектора x в базисе e1,e2

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимаются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на скаляр (число).

(Правило треугольника). Суммой векторов а и b называется вектор с = а + b, соединяющий начало вектора а с концом вектора b, если начало вектора b совмещено с концом вектора а .

(Правило параллелограмма). Суммой векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, равный по длине и параллельный диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и b, и выходящей из общего начала векторов а и b.

Очевидно, эти определения эквивалентны, т.е. определяют один и тот же вектор с = а + b.

Т. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. а + b = b + а для любых векторов а, b (коммутативность);

2. (а + b) + с = а + (b + с) для любых векторов а, b, с (ассоциативность);

3. Для любого вектора а выполняется равенство а + 0 = а.

4. Для любого вектора а существует противоположный вектор - а такой, что а + (-а) = 0.

Справа приведены рисунки, иллюстрирующие доказательства первого и второго свойств. Третье и четвертое свойства очевидны:

3. а + 0 = ;

4. Если , и взять , то а +

(-а) = = 0.

Опр. 1.1.3. Суммой n векторов a1, a2, a3,an называется вектор, соединяющий начало вектора a1 с концом вектора an, если начало вектора a2 совмещено с концом a1, начало a3 совмещено с концом a2 и т.д. (рис.3).

Опр. 1.1.4. Разностью векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого.

Разность векторов а и b можно найти, сложив с вектором а противоположный вектор -b: а - b = а + (-b).

Опр. 1.1.5. Произведением вектора а на в скаляр (вещественное число) называется вектор , коллинеарный вектору а, сонаправленный с ним, если и противонаправленный к а, если , имеющий длину .

Теорема 1.2.2. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность);

Действительно , обе части неравенства представляют собой векторы, коллинеарные вектору a. Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления. Равенство длин очевидно, если числа λ и μ имеют противоположные знаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению к a. Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины,т.е. равные векторы.

2. (дистрибутивность относительно суммы скаляров);

При λ=0 и μ=0 свойство очевидно, слева будет нулевой вектор, справа сумма нулевых векторов. Если они не равны 0, свойство вытекает из правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. + рисунок!



λ b λa+ λb



b a+b



a λa

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов);

Здесь 3 коллинеарных вектора. До-во сводится к подсчету длин векторов. Если λ и μ имеют положительные знаки, то все 3 вектора имеют одно направление, то справа складываются длины а доказываемое сводится к: , если оба отрицательны аналогично.

Пусть λ и μ имеют противоположные знаки. Для определенности λ>0, μ<0.При сложении векторов λа и μа вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления. Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с а при |λ|>|μ|, и противоположного направления в обратном случае. Его длина, согласно определению произведения вектора на число, равна |λ+μ||a|, учитывая направление этого вектора, Заключаем, что он равен (λ+μ)a, т .е. доказываемое равенство верно и при противоположных знаках.

4. Для выполняется равенство ;

5. Вектор, противоположный вектору а, получается умножением вектора а на скаляр ();

6. При умножении на скаляр 0 получается нулевой вектор:0.

7. Если умножить на скаляр , то получится единичный вектор, сонаправленный с вектором а, т.е. орт вектора а: a0=a/|a|


Однородные матрицы

Т. Если столбцы x(1),x(2),…x(s) – решения однородной СЛАУ Ax=0, то любая линейная комбинация, так же является решением этой системы.

ДОК.Рассмотрим любую лин. Комбинацию данных решений: , тогда

Т.е. столбец x является

решением однородной СЛАУ Ax=0.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

ДОК.Если x – ненуленвое решение однородной СЛАУ, то для любого решением однородной СЛАУ является и λx

ОПР. ФСР-любой набор из k=n-r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной системы СЛАУ Ax=0, где n – кол-во неизвестных, r – ранг матрицы А.

Следствие. С помощью нормальной ФСР однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой где постоянные принимают произвольные значения.

Следствие.Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырождена. (т.е. чтобы ее определитель был равен 0)

  • Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Если x(1),x(2),…x(s) – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Ax=0, то любое её решение x можно предст. в виде x1x(1)+…+ckx(k), где с1….сn – некоторые постоянные. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

  • ОПР.Однородная СЛАУ Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида


Т.е. это СЛАУ свободными членами которой являются 0.


Случайные файлы

Файл
139117.rtf
11606-1.rtf
163815.rtf
Selinger.doc
60729.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.