Билеты + решённые билеты по ангему (Билет8)

Посмотреть архив целиком

Билет№8

  • Любое уравнение первой степени в прямоугольной системе координат определяет прямую на плоскости.

Так как мы имеем уравнение 1й степени, оно определяет кривую первого порядка.

Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая. Нам необходимо доказать лишь второе утверждение.

ДОК. рассмотрим произвольное урав­нение первого порядка с двумя неизвестными ах + by + с = 0,

а2 + b2!= 0. Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Напри­мер, если а!= 0, то решением уравнения является х = -с/a, y=0. Это значит, что геометрический образ уравнения является не­пустым и содержит какие-то точки. Пусть точка М00; у0) принадлежит указанному образу, т.е. выполняется равенство ахо + bуо + с = 0. Вычтем это равенство из рассматриваемого уравнения. В результате получим новое уравнение, эквива­лентное исходному. Это новое уравнение после группировки слагаемых примет вид

Нетрудно увидеть, что полученное уравнение представляет со­бой условие ортогональности векторов

n={а; b} и M0M, где М — это точка с координатами (x;y). Следовательно, если точка М(х; у) принадлежит геометрическому образу уравне­ния ax + by + c = 0, то вектор п ортогонален вектору М0М, т.е. точка М лежит на прямой, проходящей через точку М0 перпен­дикулярно вектору п. ►


Из доказательства теоремы 4.1 следует, что коэффициенты а и 6 в общем уравнении прямой имеют простой геометри­ческий смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Такой вектор называют нормальным вектором прямой. Он, как и общее уравнение прямой, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.


Уравнение прямой проходящей через 2 точки:

Зададим прямую L на плоскости двумя различными точками М1(x1;y1) и M2(x2;y2) на ней.

Тогда вектор М1М2 параллелен L и ее каноническое уравнение (x-x0)/m=(y-y0)/n как уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1;y1), с направляющим вектором s= М1М2 имеет вид

Уравнение прямой в отрезках:

Определим прямую L ее точками А(а,0) и В(0,b) пересечения с осями координат, предполагая что эти две точки не совпадают с началом координат, т.е. что а!=0 и b!=0

Записывая уравнение прямой L в виде

по двум ее точкам А и В

Получаем откуда

  • ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значения x1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

Т Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОК НЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстных x1,…,xn такие, что x1a1+…+xnan=b, где ai – столбцы матрицы А, b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждого j>k существуют такие







Поэтому столбец :

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. Поэтому Rg(A|b)=RgA.

ДОСТАТОЧНОСТЬ:Пусть Rg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.



Случайные файлы

Файл
74004.rtf
62091.doc
73242.rtf
задача 91.doc
90336.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.