Билеты + решённые билеты по ангему (Билет7)

Посмотреть архив целиком

Билет№7

ОПР.Декартова система координат – пара, состоящая из фиксированной точки О и некоторого базиса. Соответственно трем пространствам V1, V2, V3 получаем три варианта декартовой системы координат: на прямой, на плоскости, в пространстве.

Понятия:

- начало координат – точка О в составе декартовой системы координат;

- репер – базис в составе декартовой системы координат;

- оси координат – прямые на которых лежат векторы репера, задающие направления на этих прямых. Оси имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.

- координатные плоскости – плоскости, определяемые парами векторов репера.

- радиус-вектор точки М – вектор ОМ, соединяющий начало координат с этой точкой.

Декартову систему координат еще называют косоугольной системой координат.

Если репер декартовой системы координат явл ортонормированным базисом, то такую систему координат называют декартовой прямоугольной системой координат, или просто прямоугольной системой координат, а декартовы координаты точки – ее прямоугольными координатами.

Базис в V2 называется правым, если его первый вектор совмещается со вторым кратчайшим поворотом против хода часовой стрелки.


  • ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значения x1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

(матричная форма)










(Решение СЛАУ можно трактовать в виде линейной комбинации столбцов)


x1a1+…+xnan=b (векторная запись)


  • Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Если x(1),x(2),…x(s) – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Ax=0, то любое её решение x можно предст. в виде x1x(1)+…+ckx(k), где с1….сn – некоторые постоянные. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

ДОК. Пусть некоторое решение однор. СЛАУ Ax=0 имеет вид (1) Пусть базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, тогда рассматриваемая однородная СЛАУ имеет те же решения, что и система




(1)




Которую можно записать в виде




Эта система имеет невырожденную матрицу, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А исходной СЛАУ.Решая систему относительно базисных неизвестных (например с помощью формул Крамера) получаем соотношения







Запишем ФСР в координатной форме








Затем составим из столбцов матрицу



Последние k столбцов образуют ФСР и по определению линейно независимы, а так как ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов, то RgB>=k.

Покажем что RgB=<k. Так как столбцы матрицы В явл. Решением системыAx=0, их элементы удовл. соотнош., т.е.






(2)





Где .Вычтем из первой строки матрицы В линейную комбинацию последних k=n-r строк с коэффициентами α1,r+1,…,α1n. Тогда согласно первому равенству из (2) в результате этих преобразований мы получим матрицу у кот. Первые r строк нулевые. Т.к. при этом ранг матрицы не меняется RgB=<n-r=k. Поскольку RgB=k, а последние k столбцов матрицы В линейно независимы, тро, согласно теореме о линейно независимых базисных сроках(столбцах) они явл. Базисными, =>первый столбец x по теорему о базисном миноре, явл их линейной комбинацией. Это значит что сущ. такие постоянные , что выполнено равенство (1)




Случайные файлы

Файл
185117.doc
24205-1.rtf
27246-1.rtf
349.doc
60792.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.