Билеты + решённые билеты по ангему (Билет3)

Посмотреть архив целиком

Билет№3

  • ОПР.Скалярным произведением двух векторов a и b называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. ab=|a||b|cosφ.

Скалярное произведение векторов можно выразить через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение abполучается перемножением длины вектора и ортогональной проекции вектора b на направление вектора а: ab=|a|прab. Аналогично при b ненулевом. Ab=|b|прba

Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой, то такие векторы называют ортоганальными. Если хотя бы один из векторов нулевой их скалярное произведение равно 0.

Свойства скалярного произведения: 1)свойство коммутативности: ab=ba 2)свойство ассоциативности:(λа)b= λ(ab) 3)Свойство дистрибутивности:(a+b)c=ac+bc 4)Свойство скалярного квадрата a2>=0, причем a2=0 тогда и только тогда, когда а=0

Вывод формулы вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе.

Пусть векторы a и b из V3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе ijk









Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса ijkозначает выполнение равенств: ij=ik=jk=0, i2=j2=k2=1. Таким образом ab=xaxb+yayb+zazb, т.е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат.


  • ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значения x1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

(матричная форма)










(Решение СЛАУ можно трактовать в виде линейной комбинации столбцов)


x1a1+…+xnan=b (векторная запись)


Т Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОК НЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстных x1,…,xn такие, что x1a1+…+xnan=b, где ai – столбцы матрицы А, b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждого j>k существуют такие







Поэтому столбец :

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. Поэтому Rg(A|b)=RgA.

ДОСТАТОЧНОСТЬ:Пусть Rg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.



Случайные файлы

Файл
ref-14988.doc
32999.rtf
60627.rtf
55424.rtf
37433.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.