Экономическое моделирование (183962)

Посмотреть архив целиком

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1


Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость x от y:


.


Известно также, что, .

Задание

  1. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели:

    1. с вероятностью 90%;

    2. с вероятностью 99%.

  2. Проанализируйте результаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

Решение.

Формула для расчета доверительного интервала для коэффициента регрессии имеет вид:



где - случайная ошибка параметра линейной регрессии. Оценка значимости коэффициента регрессии проводится путем сопоставления его значения с величиной случайной ошибки.



где FF-критерий Фишера и определяется из соотношения:


Тогда



При и числа степеней свободы табличное значение .

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что , из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 90% (p = 1 – α) следует отклонить

Для коэффициента регрессии в примере 90 %-ые границы составят:


-7 + 1,7143 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 - 1,7143 · (-2,86)

-11,9 ≤ b ≤ -2,04


При и числа степеней свободы табличное значение .

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что , из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 99% (p = 1 – α) следует принять и признается статистическая незначимость параметра b.

Для коэффициента регрессии в примере 99 %-ые границы составят:


-7 + 2,8784 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 – 2,8784 · (-2,86)

-15,23 ≤ b ≤ 1,232


Получили, что доверительный интервал для коэффициента корреляции с вероятностью 90% значительно меньше доверительного интервала с вероятностью 99%. Это объясняется тем, что при увеличении интервала вероятность попадания в него оцениваемого параметра растет и наоборот, с уменьшением интервала – вероятность снижается.


Производительность труда рабочих, тыс.руб., y

фактическая, y

расчетная,

1

12

10

0,167

4

0,16

2

8

10

0,250

4

12,96

3

13

13

0,000

0

1,96

4

15

14

0,067

1

11,56

5

16

15

0,063

1

19,36

6

11

12

0,091

1

0,36

7

12

13

0,083

1

0,16

8

9

10

0,111

1

6,76

9

11

10

0,091

1

0,36

10

9

9

0

0

6,76

Итого:

-

-

0,922

14

60,40

Ср. значение

11,6

-

-

-

-


Задача 2


Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью . Ее использование привело к результатам, представленным в таблице:


Производительность труда рабочих, тыс.руб., y

фактическая

расчетная

1

12

10

2

8

10

3

13

13

4

15

14

5

16

15

6

11

12

7

12

13

8

9

10

9

11

10

10

9

9


Задание

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.

Решение

Значение средней ошибки аппроксимации находится по формуле:



Рассчитанное значение средней ошибки аппроксимации говорит о предельном качестве модели, поскольку близко подходит к критическому пределу в 10%.

Индекс корреляции (для нелинейной регрессии):



Найденное значение индекса корреляции говорит о наличии близкой зависимости среднемесячной производительности труда от возраста рабочих.

F-критерий Фишера:


.


При уровне значимости α = 0,05, k1 = 1 (m) и k2 = 10 (n-m-1=10-1-1) степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера .

=26,5 > =5,12, значит, H0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимость и надёжность. Вывод: показатели рассчитанных коэффициентов позволяют предложить отобразить зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих выбором более точной модели путем введения дополнительных переменных, либо изменением уравнения регрессии.


Задача 3

регрессия аппроксимация корреляция спрос

Зависимость спроса на товар K от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением: . Доля остаточной дисперсии в общей составила 18%.

Задание

  1. Запишите данное уравнение в виде степенной функции.

  2. Оцените эластичность спроса на товар в зависимости от его цены.

  3. Определите индекс корреляции.

  4. Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение.

  1. Уравнение в виде степенной функции:

  2. Эластичность степенной функции:

Фактором снижения спроса выступает его цена: с ростом цены на 1%, спрос снижается на 0,35%.

  1. Индекс корреляции (для нелинейной регрессии):

Поскольку доля остаточной дисперсии в общей составила 18%, поэтому уравнение регрессии объясняется 82% дисперсии результативного признака, т. е. коэффициент детерминации равен R2 = 0,82.

Индекс корреляции находится: Величина индекса корреляции достаточно близка к 1 и означает наличие достаточно тесной связи объема спроса от размера цены.

F –тест состоит в проверке гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого сравнивается фактическое и критическое значение F-критерия Фишера. При уровне значимости α = 0,05, k1 = 1 (m) и k2 = 20 (n-m-1=20-1-1) степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера :


.

> ,


то H0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимость и надёжность.

Вывод: уравнение регрессии характеризует достаточно тесную зависимость спроса на товар K от его цены. Причем, наблюдается обратная зависимость: с увеличением цены, спрос падает.


Задача 4


Изучение влияния стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице:


Номер предприятия

Валовой доход за год, млн.руб.

Среднегодовая стоимость, млн.руб.

основных фондов

оборотных средств

1

203

118

105

2

63

28

56

3

45

17

54

4

113

50

63

5

121

56

28

6

88

102

50

7

110

116

54

8

56

124

42

9

80

114

36

10

237

154

106

11

160

115

88

12

75

98

46


Задание

  1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.

  2. Рассчитайте средние коэффициенты эластичности.

  3. Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделайте выводы о силе связи результата и факторов.

  4. Дайте оценку полученного уравнения на основе общего F-критерия Фишера.

  5. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

  6. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

  7. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение.

Построение линейной множественной регрессии сводится к оценке ее параметров – а, b1 и b2. Для расчета параметров а, b1 и b2 уравнения регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно а, b1 и b2:



По исходным данным произведем расчет предварительных параметров (табл. 4.1)


Таблица 4.1

У

Х1

Х2

Х12

Х22

Х1·Х2

У·Х1

У·Х2

ŷ

1

203

118

105

13924,00

11025,00

12390,00

23954,00

21315,00

197,29

2

63

28

56

784,00

3136,00

1568,00

1764,00

3528,00

80,63

3

45

17

54

289,00

2916,00

918,00

765,00

2430,00

73,07

4

113

50

63

2500,00

3969,00

3150,00

5650,00

7119,00

100,80

5

121

56

28

3136,00

784,00

1568,00

6776,00

3388,00

44,39

6

88

102

50

10404,00

2500,00

5100,00

8976,00

4400,00

98,90

7

110

116

54

13456,00

2916,00

6264,00

12760,00

5940,00

110,97

8

56

124

42

15376,00

1764,00

5208,00

6944,00

2352,00

93,91

9

80

114

36

12996,00

1296,00

4104,00

9120,00

2880,00

80,01

10

237

154

106

23716,00

11236,00

16324,00

36498,00

25122,00

212,75

11

160

115

88

13225,00

7744,00

10120,00

18400,00

14080,00

167,62

12

75

98

46

9604,00

2116,00

4508,00

7350,00

3450,00

90,66

Итого:

1351,00

1092,0

728,0

119410,0

51402,0

71222,0

138957,0

96004,0

1351,00


Систему линейных уравнений удобно решать методом Крамера (метод определителей):



- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.



частный определитель параметра а.



частный определитель параметра х1.



частный определитель параметра х2.



Теперь произведем расчет коэффициентов множественной регрессии:



Аналогичные результаты можно получить с помощью автоматической процедуры нахождения параметров «Анализ данных» → «Регрессия» MS Excel уравнения множественной регрессии:

Окончательно уравнение множественной регрессии, связывающее валовой доход за год (у) со средней стоимостью основных фондов (х1) и со средней стоимостью оборотных средств (х2) имеет вид:



Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 млн. руб. размер валового дохода возрастет в среднем на 380 тыс. руб., при том же стоимости оборотных средств. Увеличение среднегодовой стоимости оборотных средств на 1 млн. руб. при той же стоимости основных фондов предполагает дополнительное увеличение валового дохода за год на 1,68 млн. руб.


Случайные файлы

Файл
ref-18419.doc
50457.rtf
49154.rtf
49920.rtf
92643.rtf