Прогноз среднего значения цены (183877)

Посмотреть архив целиком

Задача 1


Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика их потребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажу очередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену? Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены и доверительных интервалов для него.

Цена автомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можно отнести, например, модель автомобиля, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регион производства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров, время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д. Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они – качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этом задании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя на высокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаем выборку, например, только для автомобилей одной фирмы-производителя. Пусть, например, оказалось, что продано n= 16 таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены yi (i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющие переменные: возраст хi1 (i = 1, …..16) в годах и мощность двигателя хi2 (i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена в таблице:


I номер

yi , цена, тыс. у.е.

хi1 возраст,лет

хi2, мощность двигателя

1

11

5,0

155

2

6

7,0

87

3

9,8

5,0

106

4

11

4,0

89

5

12,3

4,0

133

6

8,7

6,0

94

7

9,3

5,0

124

8

10,6

5,0

105

9

11,8

4,0

120

10

10,6

4,0

107

11

5,2

7,0

53

12

8,2

5,0

80

13

6,5

6,0

67

14

5,7

7,0

73

15

7,9

6,0

100

16

10,5

4,0

118


1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х1, между ценой y и мощностью автомобиля x2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости y от х1 и y от х2. Найти точечные оценки независимых параметров


а0а1 модели y = а0 + а1 х1 + ε и

β1β2 модели y = β0 + а1 х1 + δ


2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х2. Для этого рассчитать коэффициенты парной корреляции ryx1 и ryx2 и проверить их отличие от нуля при уровне значимости α = 0,1.

3. Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимости α = 0,05 и α = 0,10.

4. Проверить полученные результаты с помощью средств Microcoft Excel.

5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительные интервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности 0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительные полосы.

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст х1 равен 3 года. Мощность двигателя х2 = 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по моделям y = а0 + а1 х1 + ε и y = β0 + а1 х1 + δ с доверительной вероятностью 0,9.

Решение:

На основе поля рассеяния, построенного на основе табл. 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x1 описывается линейной моделью вида


y = а0 + а1 х1 + ε


где а0 и а1 – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.


Рисунок 1 – Поле рассеяния «возраст автомобиля-цена»


Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 2), также построенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x2 описывается линейной моделью вида


y = β0 + β1 х1 + δ



где β0 и β1 – неизвестные постоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.


Рисунок 2 – Поле рассеяния «мощность автомобиля-цена»


На основе табл. 1 исходных данных для вычисления оценок параметров моделей составляется вспомогательная табл. 1.1. Воспользуемся формулами и левой частью таблицы 1.1. для нахождения оценок а0 и а1.

Так как n = 16, получаем

= 145/16=9.0625

= 84.0/16=5.25

= 27.5625

= 365

= 460


i

yi

xi1

xi12

xi1 yi

yi2

i

yi

xi2

xi22

xi2 yi

1

11

5.0

25

55

121

1

11

155

24025

1705

2

6

7.0

49

42

36

2

6

87

7569

522

3

9,8

5.0

25

49

96,04

3

9,8

106

11236

1038,8

4

11

4.0

16

44

121

4

11

89

7921

979

5

12,3

4.0

16

49,2

151,29

5

12,3

133

17689

1635,9

6

8,7

6.0

36

52,2

75,69

6

8,7

94

8836

817,8

7

9,3

5.0

25

46,5

86,49

7

9,3

124

15376

1153,2

8

10,6

5.0

25

53

112,36

8

10,6

105

11025

1113

9

11,8

4.0

16

47,2

139,24

9

11,8

120

14400

1416

10

10,6

4.0

16

42,4

112,36

10

10,6

107

11449

1134,2

11

5,2

7.0

49

36,4

27,04

11

5,2

53

2809

275,6

12

8,2

5.0

25

41

67,24

12

8,2

80

1600

656

13

6,5

6.0

36

39

42,25

13

6,5

67

4489

435,5

14

5,7

7.0

49

39,9

32,49

14

5,7

73

5329

416,1

15

7,9

6.0

36

47,4

62,41

15

7,9

100

10000

790

16

10,5

4.0

16

42

110,25

16

10,5

118

13924

1239

Сумма

145,1

84.0

460

726,2

1393,15


145,1

1611

167677

15327,1


Следовательно,

а1 =

а0 = 9,0625- (-1,844) * 5.25 = 18,74

Таким образом,

Аналогично находятся оценки коэффициентов второй регрессионной модели y = β0 + β1 х1 + δ. При этом используется правая часть таблицы

= 1611/16=100,6875

= 10137.97

= 153271,1

= 167677

β1 =

β 0 = 9,0625- 0,0099 * 100.6875= 2.0355

Окончательно получаем:

Подставляем соответствующие значения в формулу:


ryx =


ryx1 = = 0,915

ryx2 = = 0.8

В нашей задаче t0.95;14 = 1,761

Для ryx1 получаем

= = 0,955 <1.761

Условие не выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции не значим, гипотеза отвергается, между переменными отсутствует линейная связь

= = 4.98>1.761

Условие выполняется, следовательно, коэффициент парной корреляции значимый, гипотеза подтверждается, между переменными существует сильная линейная связь

Коэффициент парной корреляции ryx связан с коэффициентом а1 уравнения регрессии


следующим образом

ryx = a1 Sx/Sy


где Sx, Sy – выборочные среднеквадратичные отклонения случайных переменных х и y соответственно, рассчитывающиеся по формулам:


Sx1 = √ Sx12

Sx12 = 1/n ∑(xi - )2

Sy = √ Sy2

Sy2 = 1/n ∑(yi - )2


ryx1 = 0,915

ryx2 = 0,8

R2 = ryx12 = 0,8372

Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля

R2 = ryx22 = 0,64

Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателя автомобиля

Рассчитаем фактическое значение F- статистики Фишера по формуле:


F=


F== 0,768 для зависимости y от х1

F== 0,285для зависимости y от х2

Fт = 4,6

Поэтому для зависимостей y от х1 и y от х2 выполняется неравенство

Fт ф

гипотеза отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t-критерий Стьюдента.

Для зависимости y от х1:

= √F = √0,768 = 0,876

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1

Для зависимости y от х2:

= √F = √0,285 = 0,533

Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевую гипотезу равенства нулю а1

Проверка с помощью Microsoft Excel


Оценка параметра а1

-1,87237

Оценка параметра а0

18,89868

Среднеквадратическое отклонение

0,200234

Среднеквадратическое отклонение а0

1,073633

Коэффициент детерминации R2

0,861987

Среднеквадратическое отклонение y

0,872798

F-Статистика

87,43972

Число степеней свободы

14

Регрессионная сумма квадратов

66,60951

Остаточная сумма квадратов

10,66487


Оценка параметра а1

0,0698523

Оценка параметра а0

2,0354973

Среднеквадратическое отклонение

0,013746

Среднеквадратическое отклонение а0

1,4271948

Коэффициент детерминации R2

0,648444

Среднеквадратическое отклонение y

1,3929996

F-Статистика

25,822959

Число степеней свободы

14

Регрессионная сумма квадратов

50,108105

Остаточная сумма квадратов

27,16627




Рассчитаем доверительный интервал среднего значения цены для y = a0 + a1x1/


: ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,


где ув, ун – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительного интервала;

ŷ(х0) – точечный прогноз;

t1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;


: ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,


ta = 2,57

Доверительный интервал для уn:

Нижняя граница интервала:

= 18,74-1,844*5 = 9,52

Верхняя граница интервала:

= 18,74-1,844*7 = 5,832


Sx12 = 1/n ∑(xi - )2 = 19/16 = 1,1875


Sx1 = 1,089


xi1

xi1 - хср1

(xi1 - хср1)2

х2

х1х2

5.0

-0,25

0,0625

155

775

7.0

1,75

3,0625

87

609

5.0

-0,25

0,0625

106

530

4.0

-1,25

1,5625

89

356

4.0

-1,25

1,5625

133

532

6.0

0,75

0,5625

94

564

5.0

-0,25

0,0625

124

620

5.0

-0,25

0,0625

105

525

4.0

-1,25

1,5625

120

480

4.0

-1,25

1,5625

107

428

7.0

1,75

3,0625

53

371

5.0

-0,25

0,0625

80

400

6.0

0,75

0,5625

67

402

7.0

1,75

3,0625

73

511

6.0

0,75

0,5625

100

600

4.0

-1,25

1,5625

118

472



19


8175


myx= S1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414


5,832 – 2,57*0,414 ≤ yn5,832 + 2,57*0,414

На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст xp1 = 3 года. Мощность двигателя xp2 = 165 л.с.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели


y = β0 + β1 х1 + δ


Подставляем xp1 в уравнение регрессии:

Получим точечный интервальный прогноз среднего цены.

(xp1) = 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е.

Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены (xp1) = 12,3 тыс. и xp1 = 3 года в уравнения границ доверительного интервала регрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9

ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е.,

ŷв = 14,27 тыс. у.е.


Задача 2


Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов множественной регрессионной модели


y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε


Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициента детерминации и F-критерия. Пояснить их содержательный смысл.

Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств Microcoft Excel.

Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей по множественной модели y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возраст поступивших автомобилей х1 = 3 года, мощность двигателя х2 = 165 л.с.

На основе полученных в задачах 1-2 статистических характеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиля от возраста и мощности двигателя.

Сумма произведений ∑х1х2 равна: 8175

ХТХ = ХТY =

Найдем матрицу (Хт Х), обратную матрице ХТХ.

Для этого сначала вычислим определитель.

ХТХ = 16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548

Определим матрицу алгебраических дополнений


Задача 3


В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а0 а1t +ε с методом наименьших квадратов.


Таблица 2 Ежегодные объемы продаж

t годы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

zt, продажи, тыс.у.е.

350

314

300

293

368

393

339

443

467

457

488

424


Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж.

В таблице 3 объемы продаж zt в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:


z1 = а0 а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt


Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.

По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.


Ежемесячные объемы продаж

t,годы

Zt

t

ytt

t2

1

2

3

4

5

1

350

1

350

1

2

314

2

728

4

3

300

3

900

9

4

293

4

1172

16

5

368

5

1840

25

6

393

6

2358

36

7

339

7

2373

49

8

443

8

3544

64

9

467

9

3736

81

10

457

10

4570

100

11

488

11

5368

121

12

424

12

5088

144

78

4636

78

32027

650


t = ½*12 (12+1) = 78

t2 = 1/6 *12 (12+1) (24+1)= 650

а0 = 515294/1716=283,61

а1 == 22716/1716=15,804

Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:

y= 283,61+15,84t



Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:



ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,


где ув, ун – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительного интервала;

ŷ(х0) – точечный прогноз;

t1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;


ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,


ta = 2,35

Доверительный интервал для уn:

Нижняя граница интервала:

y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*293 = 4179,61

Верхняя граница интервала:

y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*488= 6761,41


Sx12 = 1/n ∑(xi - )2 = 51804,7/12 = 4317,06


Sx1 = 65,704

zср = 386.33


z

zi - zср

(zi - zi ср)2

350

-36.33

1319,87

314

-72.33

5231,63

300

-86.33

7452,89

293

-93.33

8710,49

368

-18.33

335,99

393

6.67

44,49

339

-47.33

2240,13

443

56.67

3211,49

467

80.67

6507,65

457

70.67

4994,25

488

101.67

10336,79

424

37.67

1419,03

4636

24624

51804,7


myx= S65,704*√1/12+ 24624/51804,7 = 36,71


65,704 – 2,35*36,71 ≤ yn ≤ 65,704 + 2,35*36,71

Точечный прогноз среднего значения продаж по линейному тренду находится следующим образом:

ŷв.н. = 283,61+15,84*13 = 489,53

Окончательно получаем интервальный прогноз продаж

ŷв.н. = 489,5 ±2,353*36,71

Или ŷв= 489,5 ±2,353*36,71 = 575,89

Или ŷн= 489,5 ±2,353*36,71 = 403,12


Задача 4


Для регрессионных моделей:


y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε

z1 = а0 а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt


проверить наличие или отсутствие автокорреляции, используя критерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05.



Для регрессионной модели y = а0 + а1 х1 + а2 х2 +ε


Проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя критерии xи-квадрат (χ2) при уровне значимости α = 0,05.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.