Финансовая математика (183681)

Посмотреть архив целиком


Задание 1


Правило торговца.

Кредит в Z = 15 000 руб. выдан на N = 10 месяцев под i = 10% годовых. Договор предусматривает погашение двумя промежуточными платежами. Первая выплата в сумме R1 = 600 руб. производится через n1 = 6 месяцев, вторая выплата в сумме R2 = 9 000 руб. - через n2 = 9 месяцев. Найти выплату в конце срока кредита.

Решение.

Продолжительность кредита в долях года равна


T =10/12=5/6.


Тогда долг (кредит с процентами) составит 15 000(1 + 0,10,83) = 16 245.

Интервал времени (в долях года) от момента первого платежа до окончания срока кредита


t1 =(10-6) /12=1/3.


Сумма первого платежа с процентами равна


R1=(1+ i t1) = 600(1+0,1·1/3) =620.


Остаток долга после первого платежа будет равен


Z1 = 16245-620=15625.


Интервал времени (в долях года) от момента второго платежа до окончания срока кредита


t2 =(10-9) /12=1/12.


Сумма второго платежа с процентами равна


R2=(1+ i t2) =9000(1+0,1·1/12) =9075.


Остаток долга будет равен


Z2 = 15625-9075=6550.


Отсюда следует, что в конце срока кредита погашающий платеж равен

R3= 6550 руб.

Таким образом, заемщиком будет выплачена сумма


R1+ R2+R3= 600+9000+6550=16150 руб.


При этом его долг кредитору составляет 16 245 руб.


Задание 2


Клиент получил ссуду Р = 200000 руб. сроком на n = 8 лет под 6% процентов годовых. Погашение кредита производится в конце каждого года равными долями.

Вычислить размер ежегодного платежа и его разбиение на погашение основного долга и погашение процентов. Вычисления по формулам проверить с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ.

Решение.

Клиент должен каждый год выплачивать банку сумму


R=P∙ i/(1-(1+i) - n) =200000∙0,06/(1-(1+0,06) - 8) =32207, 19


Этот ответ можно получить, используя таблицу коэффициентов приведения a(i,k),


R=P/(a(6%,8)) =200000/6, 20979=32207, 19


найдем выплаты по процентам и основного долга в конце первого года, т.е. при j = 1, Z0 = P = 200 000:


D1 = i·Z0 = 0,06·200 000 = 12 000,B1 = R - D1 = 32207,19 - 12000 =20207, 19.


Тогда остаток долга в конце первого года будет равен


Z1 = Z0 - B1 = 200 000 - 20207,19 = 179792,81.


В конце второго года, т.е. при j = 2 выплаты по процентам


D2 = i·Z1 = 0,06·179792,81 ≈ 10787,57,выплаты основного долга

B2 = R - D2 = 32207,19 - 10787,57 = 21419,62.


Тогда остаток долга в конце второго года будет равен


Z2= Z1 - B2 = 179792,81 - 21419,62 = 158373, 19.


В конце третьего года, т.е. при j = 3 выплаты по процентам


D3= i·Z2 = 0,06·158373,19 ≈ 9502,39,


выплаты основного долга


B3 = R - D3 =32207,19 -9502,39= 22704,8.


Тогда остаток долга в конце третьего года будет равен


Z3 = Z2 - B3 = 158373,19 - 22704,8 =135668,39.


В конце четвертого года, т.е. при j = 4 выплаты по процентам


D4 = i·Z3 = 0,06·135668,39 =8140,10,выплаты основного долга

B4 = R - D4 =32207,19 -8140,10= 24067,08.


Тогда остаток долга в конце четвертого года будет равен


Z4 = Z3 - B4 = 135668,39 - 24067,08 = 111601,31.


В конце пятого года, т.е. при j = 5 выплаты по процентам


D5 = i·Z4 = 0,06·111601,31 =6696,08,выплаты основного долга

B5 = R - D5 =32207,19 -6696,08= 25511,11.


Тогда остаток долга в конце пятого года будет равен


Z5 = Z4 - B5 = 111601,31 - 25511,11 = 86090,2.


В конце шестого года, т.е. при j = 6 выплаты по процентам


D6 = i·Z5 = 0,06·86090,2 =5165,41,выплаты основного долга

B6 = R - D6 =32207,19 -5165,41= 27041,78.


Тогда остаток долга в конце шестого года будет равен


Z6 = Z5 - B6 = 86090,2 - 27041,78= 59048,42.


В конце седьмого года, т.е. при j = 7 выплаты по процентам


D7 = i·Z6 = 0,06·59048,42=3542,91,выплаты основного долга

B7 = R - D7 =32207,19 -3542,91= 28664,28.


Тогда остаток долга в конце седьмого года будет равен


Z7 = Z6 - B7 = 59048,42 - 28664,28= 30384,14.


В конце восьмого года, т.е. при j = 8 выплаты по процентам


D8 = i·Z7 = 0,06·30384,14 =1823,05,выплаты основного долга

B8 = R - D8 =32207,19 -1823,05= 30384,14.


Тогда остаток долга в конце восьмого года будет равен


Z8 = Z7 - B8 = 30384,14 - 30384,14= 0.

Теперь проверим вычисления с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ


кредит

200 000,00





срок

8


ежегодная выплата R

проц ставка

6%


-32 207, 19р.










год

основные Bi

проценты Di

остатки долга Zi



0



200 000,00



1

-20 207, 19р.

-12 000,00р.

179 792,81р.



2

-21 419,62р.

-10 787,57р.

158 373, 19р.



3

-22 704,80р.

-9 502,39р.

135 668,39р.



4

-24 067,08р.

-8 140,10р.

111 601,31р.



5

-25 511,11р.

-6 696,08р.

86 090, 20р.



6

-27 041,78р.

-5 165,41р.

59 048,42р.



7

-28 664,28р.

-3 542,91р.

30 384,14р.



8

-30 384,14р.

-1 823,05р.

0,00р.









Задание 3


Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I0 = $ 15 000. В конце первого года доход составит R1= $ 7 000, а в конце второго года - R2= $ 12 000.

Найти при заданной ставке приведения i=10%:

1) чистый приведенный доход NPV;

2) чистый наращенный доход NFV;

3) cрок окупаемости без учета и с учетом времени;

4) внутреннюю ставку дохода.

Вычисления по формулам проверить помощью функций ЧПС и ВСД.

Решение.

Из формулы при n = 2, i = 10% найдем чистый приведенный доход n


NPV=∑ * Rk / (1+i) k-I0

k=1

NPV=7000/1,1+12000/1,12-15000=6363,64+9917,36-15000=1281

или NPV=R1*v(10%,1) +R2*v(10%,2) - I0

=7000*0,909091+12000*0,826446-15000=6363,64+9917,36-15000=1281


Заметим, что величина $ 6363,64 соответствует современной стоимости $ 7 000, а величина инвестиции $ 9 917,36 соответствует современной стоимости $ 12 000.


NFV = (1+i) 2 ·NPV = 1,12 · 1281 = 1550,01


Найдем срок окупаемости без учета времени по формуле

R1+R2+…+R [nok] +R [nok] +1=I0,


что приводит к уравнению


7000 + 12000x = 15 000.


Отсюда дробная часть срока окупаемости


x=7000/12000=0,58


Срок окупаемости равен 1 + x = 1,58.

Срок окупаемости с учетом времени по формуле:


v(i,1) R1+v(i,2) R2+…+v(i, [nok]) R [nok] +xv(i, [nok] +1) R [nok] +1=I0


приводит к уравнению


7000/1,1+12000/1,12x=15000; 7000*v(10%,1) +12000*v(10%,2) x=15000;

6363,64+9917,36x=15000; x=(15000-6363,64) /9917,36=0,87


Срок окупаемости с учетом времени поступления доходов равен 1,87.

Внутреннюю ставку дохода по определению находим из решения уравнения относительно i.


7000/(1+i) +12000/(1+i) 2=15000 или

15000х2-7000х-12000=0


где x = 1 + i. Сокращая на 1000, получим квадратное уравнение


15x2 - 7x - 12 = 0.

Положительный корень этого уравнения x1= 1,1577

Отсюда находим, что внутренняя ставка дохода


IRR = x1- 1 = 1,1577 - 1 =0,1577.


Вычисления по формулам проверим в Excel с помощью функций ЧПС и ВСД.


 

Исходные данные

 

 

 

ставка приведения

инвестиции

доходы

 

 

 

в конце 1 года

в конце 2 года

 

10%

-15 000,00р.

7000

12000

 

 

Решение

 

 

 

приведенные доходы

16 280,99р.

 

 

 

чистый приведенный доход

1 280,99р.

 

 

 

внутренняя ставка дохода

16%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Задание 4


На финансовом рынке может сложиться одна из четырех ситуаций A1, A2, A3, A4.

В условиях полной неопределенности инвестор выбирает из четырех финансовых операций F1, F2, F3, F4. Доходы инвестора определяются матрицей




Определить оптимальный выбор финансовой операции по критериям Вальда и Сэвиджа.

1. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Вальда.

Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наименьшее число в каждой строке матрицы доходов:

a1= 14, a2= 8, a3= 11, a4= 12.

Согласно правилу Вальда, наибольшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 14, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.

2. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Сэвиджа.

Сначала получим из матрицы доходов матрицу рисков. Для этого в каждом столбце матрицы доходов найдем наибольшее число

b1=17, b2=18, b3=18, b4=17.

Вычитая из наибольшего значения столбца все его элементы, получаем столбец матрицы рисков. Следовательно, матрица рисков имеет вид


Q=


Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т.е. определим наибольший риск в каждой строке матрицы рисков:

q1= 4, q2= 9, q3= 7, q4= 6.

Согласно правилу Сэвиджа наименьшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 4, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.




Случайные файлы

Файл
26384.rtf
53866.doc
ref-17716.doc
37960.doc
samoreal.doc