Выборочная ковариация (183435)

Посмотреть архив целиком

Министерство Образования Российской Федерации

Алтайский Государственный Университет

Экономический Факультет

Заочное отделение

Кафедра «Информационные системы в экономике»








Контрольная работа по предмету:

«Эконометрика»





Выполнил студент

3 курса 211 группы

Неклюдов А.А.









Барнаул 2003 г.


Выборочная ковариация


Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие может быть продемонстрировано на простом примере. Просматривая табличные данные, помещенные в приложении книги: «Введение в эконометрику», Кристофера Доугерти можно увидеть, что в период между 1963 и 1972 гг. потребительский спрос на бензин в США устойчиво повышался. Эта тенденция прекратилась в 1973 г., а затем последовали нерегулярные колебания спроса с незначительным его падением в целом. В табл. 1.1 приведены данные о потребительском спросе и реальных ценах после нефтяного кризиса. (Реальная цена вычисляется путем деления индекса номинальной цены на бензин, на общий индекс потребительских цен и умножением результата на 100, из таблицы дефляторов цен для личных потребительских расходов(1972 = 100%)). Индексы из таблицы дефляторов основаны на данных 1972 г.; таким образом, индекс реальной цены в таблице 1.1 показывает повышение цены бензина относительно общей инфляции начиная с 1972 г.


Таблица 1.1

Потребительские расходы на бензин и его реальная цена в США

Год

Расходы

(млрд. долл., цены 1972 г.)

Индекс реальных цен (1972=100)

1973

26,2

103,5

1974

24,8

127,0

1975

25,6

126,0

1976

26,8

124,8

1977

27,7

124,7

1978

28,3

121,6

1979

27,4

179,7

1980

25,1

188,8

1981

25,2

193,6

1982

25,6

173,9


Можно видеть некоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и его реальной ценой. Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единичным числом. Для его вычисления сначала необходимо найти средние значения цены и спроса на бензин. Обозначив цену через p и спрос – через y, находим средние значения p и y, затем для каждого вычисляем отклонение величин p и y от средних и перемножаем их. Проделаем это для всех годов выборки и возьмем среднюю величину, она и будет выборочной ковариацией (Таблица 1.2).


Таблица 1.2


Наблюдение

Цена

p

Спрос

y

_

(p-p)

_

(y-y)

_ _

(p-p)(y-y)

1973

103,5

26,2

-39,86

-0,07

2,79

1974

127,0

24,8

-16,36

-1,47

24,05

1975

126,0

25,6

-17,36

-0,67

11,63

1976

124,8

26,8

-18,56

0,53

-9,84

1977

124,7

27,7

-18,66

1,43

-26,68

1978

121,6

28,3

-21,76

2,03

-44,17

1979

149,7

27,4

6,34

1,13

7,16

1980

188,8

25,1

45,44

-1,17

-53,16

1981

193,6

25,2

50,24

-1,07

-53,76

1982

173,9

25,6

30,54

-0,67

-20,46

Сумма:

1433,6

262,7



-162,44

Среднее:

143,36

26,27



-16,24


Итак, при наличии n наблюдений двух переменных (x и y) выборочная ковариация задается формулой:


Cov(x,y) = 1/n*S(xi-x)(yi-y) = 1/n{(xi-x)(yi-y)+…+(xn-x)(yn-y)}


Следует отметить, что в данном примере ковариация отрицательна. Так это и должно быть. Отрицательная связь в данном примере выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь – положительной ковариацией.

Так, например, в наблюдении за 1979 г. (p-pсредн.) = 6,34, (y-yсредн.) = 1,13, а поэтому и их произведение положительно и равно 7,16, в этом наблюдении значения реальной цены и спроса выше соответствующих средних значений следовательно, наблюдение дает положительный вклад в ковариацию.

В наблюдении за 1978 г. реальная цена ниже средней, а спрос выше среднего, поэтому (p-pсредн.) отрицательно, (y-yсредн.) положительно, их произведение отрицательно, и наблюдение вносит отрицательный вклад в ковариацию.

В наблюдении за 1974 г., как реальная цена, так и спрос, ниже своих средних значений, таким образом, (p-pсредн.) и (y-yсредн.) оба являются отрицательными, а их произведение положительно следовательно, наблюдение вносит положительный вклад в ковариацию.

И, наконец, в наблюдении за 1981 г. цена выше средней, а спрос ниже среднего. Таким образом (p-pсредн.) положительно, (y-yсредн.) отрицательно, поэтому (p-pсредн.)(y-yсредн.) отрицательно, и в ковариацию, соответственно, вносится отрицательный вклад.

Несколько основных правил расчета ковариации.

  • Правило 1

Если y = v+w, то Cov(x,y) = Cov(x,v)+Cov(x,w).

  • Правило 2

Если y = az, где a – константа, то Cov(x,y) = aCov(x,z)

  • Правило 3

Если y = a, где a – константа, то Cov(x,y) = 0


Демонстрация правила 1

Возьмем данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в таблице 1.3: общий годовой доход (x); расходы на питание и одежду (y); расходы на питание (v) и расходы на одежду (w). Естественно, y равняется сумме v и w. Указанную в таблице величину z рассмотрим для демонстрации правила 2.


Таблица 1.3


Семья

Доход семьи




(x)

Расходы на питание и одежду


(y)

Расходы на питание



(v)

Расходы на одежду



(w)

Вторая выборка: расходы семьи на питание и одежду

(z)

1

3000

1100

850

250

2200

2

2500

850

700

150

1700

3

4000

1200

950

250

2400

4

6000

1600

1150

450

3200

5

3300

1000

800

200

2000

6

4500

1300

950

350

2600

Сумма:

23300

7050

5400

1650

14100

Среднее:

3883

1175

900

275

2350


В таблице 1.4 величины (x-x), (y-y), (v-v) и (w-w) вычисляются для каждой семьи. Отсюда получаем (x-xсредн.)(y-yсредн.), (x-xсредн.)(v-vсредн.) и (x-xсредн.)(w-wсредн.) для каждой семьи. Cov(x,y) получается как среднее из величин (x-xсредн.)(y-yсредн.) и равняется 266250. Cov(x,v) равна 157500 и Cov(x,w) = 108750. Следовательно, Cov(x,y) является суммой Cov(x,v) и Cov(x,w).


Таблица 1.4

Семья

_

x-x

_

y-y

_ _

(x-x)(y-y)

_

(v-v)

_ _

(x-x)(v-v)

_

(w-w)

_ _

(x-x)(w-w)

1

-883

-75

66250

-50

44167

-25

22083

2

-1383

-325

449583

-200

276667

-125

172917

3

117

25

2917

50

5833

-25

-2917

4

2117

425

899583

200

529167

175

370416

5

-583

-175

102083

-100

58333

-75

43750

6

617

125

77083

50

30833

75

46250

Сумма:



1597500


945000


652500

Среднее:



266250


157500


108750






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.