Модель Стоуна (181262)

Посмотреть архив целиком











Модель Стоуна
















Москва

2007


Содержание


Введение 3

Решение задачи Стоуна для случая двух товаров 4

Минимизация расходов потребителя: обратная задача 7

Решение задачи Стоуна для случая трех товаров 9

Пример 1 9

Пример 2 10

Пример 3 11

Пример 4 12

Пример 5 14

Литература 15


Введение


Пусть U – функция полезности потребителя. Задачу потребительского выбора можно записать в виде


(*)


,



(Доход мы нормировали на единицу, не теряя общности). Набор товаров можно рассматривать в качестве минимальной корзины потребления. Для приобретения минимального набора необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.


(**)


Показатели степеней ai > 0 характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.


Решение задачи Стоуна для случая двух товаров


Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества). Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = PXX + PYY.

Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение


L = U (X, Y) + (I  PXX  PYY), (1)


где  - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже. Первое условие максимума с ограничениями получается в результате нахождения частных производных первого порядка по X, Y и  из уравнения (1) и приравнивания их к нулю.1 Получаем систему уравнений (2)



(2)


Последнее уравнение из (2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (3.А.2). Из них следует, что


(3)



Правые части в (3) есть ни что иное, как MUX и MUY, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.


, (4)


где  может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MUn/Pn может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.

Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем


(5)


Решая систему уравнений (5) относительно X и Y получаем


,


Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, PX = 2 д.е, PY = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что PX стало равно 5 д.е., а PY снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5.

Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что

а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;

б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.


Минимизация расходов потребителя: обратная задача


В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.

Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.

Теперь мы минимизируем I = PXX + PYY при ограничении U (X, Y) = , где  определенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая


L = ( PXX + PYY)   U (X, Y)  


Тогда имеем


(1)




Возьмем первые два уравнения из (1). Из них получаем


, (2)


где  - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/. Если заменить в (2)  на 1/ и возвести уравнение в степень  1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (4).


Решение задачи Стоуна для случая трех товаров


Пример 1


Пусть функция полезности имеет вид



Бюджетное ограничение



составим фунцию Лагранжа



Найдем частные производные






решение системы




Пример 2


Пусть функция полезности имеет вид



Бюджетное ограничение



составим функцию Лагранжа


Найдем частные производные






решение системы







Пример 3


Пусть функция полезности имеет вид



Бюджетное ограничение



составим функцию Лагранжа



Найдем частные производные






решение системы






Пример 4


Пусть функция полезности имеет вид



Бюджетное ограничение



составим функцию Лагранжа



Найдем частные производные






решение системы








Пример 5


Пусть функция полезности имеет вид



Бюджетное ограничение



составим фунцию Лагранжа



Найдем частные производные





решение системы







Литература


  1. Экономика. Учебник / Под ред. А. С. Булатова. – М.: Юристъ, 2001.

  2. Микроэкономика. Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. – М.: ДИС, 2002.

  3. Экономическая теория (политэкономия). Учебник / Под ред. В. И. Видянина, Г. П. Журавлевой. – М.: РЭА, 2000.

  4. Курс экономики. Учебник / Под ред.Б. А. Райзберга. – М.: ИНФРА-М, 2000.

  5. Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. Д. Камаева. – М.: Владос, 2001.

  6. Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. И. Видянина, А. И. Добрынина, Г. П. Журавлевой, Л. С. Тарасевича. – М.: ИНФРА-М, 2000.

  7. Микроэкономика. Учебник / Под ред. Е. Строганова, И. Андреева. – М.: Питер, 2002.


1 Условия второго порядка базируются на сложных математической технике и ничего дополнительно изучающему начальный курс экономики не дают.

2




Случайные файлы

Файл
122627.rtf
33657.rtf
work.doc
13581.rtf
32827.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.