Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии (181190)

Посмотреть архив целиком

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ


КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ






КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЭКОНОМЕТРИКА»



















2007


Задания к контрольной работе:


1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.

Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;

3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:


района

Фактор

Уровень убыточности, %

Сбор овощей с 1 га, ц

Затраты труда, человеко-часов на 1 ц

1

93,2

2,3

8,8

2

65,9

26,8

39,4

3

44,6

22,8

26,2

4

18,7

56,6

78,8

5

64,6

16,4

34

6

25,6

26,5

47,6

7

47,2

26

43,7

8

48,2

12,4

23,6

9

64,1

10

19,9

10

30,3

41,7

50

11

28,4

47,9

63,1

12

47,8

32,4

44,2

13

101,3

20,2

11,2

14

31,4

39,6

52,8

15

67,6

18,4

20,2


Нелинейную зависимость принять


1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии


Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:


Ŷ = а + bx или Ŷ = a + bx + ε;


Уравнение вида Ŷ = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии.








X



Рисунок 1 – Графическая оценка параметров линейной регрессии


Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратится к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью OY, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy – приращение результата y, а dx – приращение фактора x, т.е. Ŷ = а + bx.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов(МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:


(Yi – Ŷ xi)2 → min


Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.


εi = Yi – Ŷ xi.


следовательно ∑εi2min

Y









Рисунок 2 – Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков

X


Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю.

Обозначим ∑εi2 через S, тогда


S = ∑ (Y –Ŷ xi)2 =∑(Y-a-bx)2;


Дифференцируем данное выражение, решаем систему нормальных уравнений, получаем следующую формулу расчета оценки параметра b:


b = (ух – у•x)/(x2-x2).


Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Например, если в функции издержек Ŷ = 3000 + 2x (где x – количество единиц продукции, у – издержки, тыс. грн.) с увеличением объема продукции на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. грн., т.е. дополнительный прирост продукции на ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. грн.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.


2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.

Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;


Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула расчета коэффициента эластичности:


Э = f′(x) X/Y,


где f′(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.


Y = (2/X) + 5,

f′(x) = -2/x2;


Следовательно получим следующее математическое выражение


-2


Э = =

2 + 5X


При заданном значении X = 0 получим, что коэффициент эластичности равен Э = -1.

Допустим, что заданная функция Y = (2/X) + 5 определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 1% спрос снижается в среднем на 1%.


3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:


района

Фактор

Уровень убыточности, %

Сбор овощей с 1 га, ц

Затраты труда, человеко-часов на 1 ц

1

93,2

2,3

8,8

2

65,9

26,8

39,4

3

44,6

22,8

26,2

4

18,7

56,6

78,8

5

64,6

16,4

34

6

25,6

26,5

47,6

7

47,2

26

43,7

8

48,2

12,4

23,6

9

64,1

10

19,9

10

30,3

41,7

50

11

28,4

47,9

63,1

12

47,8

32,4

44,2

13

101,3

20,2

11,2

14

31,4

39,6

52,8

15

67,6

18,4

20,2


Нелинейную зависимость принять

Задание №1


Построим линейную зависимость показателя от первого фактора.

Обозначим: сбор овощей с 1 Га как X1, а уровень убыточности как Y.


Сбор овощей с 1 га, ц

Уровень убыточности, %

X1

Y

93,2

8,8

65,9

39,4

44,6

26,2

18,7

78,8

64,6

34

25,6

47,6

47,2

43,7

48,2

23,6

64,1

19,9

30,3

50

28,4

63,1

47,8

44,2

101,3

11,2

31,4

52,8

67,6

20,2


Найдем основные числовые характеристики.

  1. Объем выборки n = 15 – суммарное число наблюдений.

  2. Минимальное значение величины сбора овощей Х=18,7;

Максимальное значение сбора овощей Х=101,3;

Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;

Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;

  1. Среднее значение:

X = ∑xi.


Среднее значение величины сбора овощей X = 778,9/15 = 51,926.

Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.

  1. Дисперсия



D(X) = ∑ (Xi – X)2 = 588.35 D(Y) = ∑(Yi – Y)2 = 385,57.


  1. Среднеквадратическое отклонение:

σx=√588.35 = 24.25, значит среднее сбора овощей в среднем от среднего значения составляет 24,25%.

σy=√385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.

Для начала нужно определить, связаны ли X1 и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (51,926; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1 и Y линейная (стр.). Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции:


Случайные файлы

Файл
142256.rtf
10191.rtf
103802.rtf
166605.rtf
176667.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.