типовичок (5 вариант)

Посмотреть архив целиком

Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана.

Кафедра «Высшая математика».









Домашнее задание по курсу

«теория вероятности».


Вариант № 5.




Выполнил: Котляров А.С.

Группа: МТ6-62

Проверил: Шахов



















Москва. 2000 г.

Задача 1. Одновременно бросаются две кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков:

  1. равна 7;

  2. меньше 8;

  3. больше 6;

  4. заключена в промежутке [3; 5].



Решение.

Все пространство возможных событий:

={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);

(2,1);(2,2); ..............................(2,6);

........................................................

(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.

Число возможных вариантов N=36.

  1. Событие А – сумма очков равна 7.

А={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}.

M=6;

Вероятность события А: P(A)=

  1. Событие B – сумма очков меньше 8.

В={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);

(4,1);(4,2);(4,3);

(5,1);(5,2);

(6,1)}.

M=21;

Вероятность события В:

  1. Событие С – сумма очков больше 6.

С={(1,6);(2,5);(2,6);(3,4);(3,5);(3,6);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5,2);.........(5,6);(6,1);.......(6,6)}.

M=20;

Вероятность события C:

  1. Событие D – сумма выпавших очков заключена в интервале [3, 5].

D={(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(4,1)}.

M=9;

Вероятность события D:





Задача 2. На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение 100 минут. Время обслуживания первой заявки 5 минут, второй – 25 минут. При поступлении заявки на занятое устройство заявка не принимается. При поступлении заявки хотя бы в последний момент времени заявка обслуживается. Найти вероятность того, что:

  1. Обе заявки будут обслужены (событие А);

  2. Будет обслужена одна заявка (событие В).

Решение.

Обозначим: X –время прихода заявки 1,

Y - время прихода заявки 2.

  1. Обе заявки будут обслужены:

а) Заявка 1 пришла первая: YX+5,

(область D1);

б) Заявка 2 пришла первая: XY+25,

(область D2);



  1. Будет обслужена одна заявка:

а) заявка 1:

0X95; Y75 (область D5)

б) заявка 2:

0Y75; X95 (область D6)

в) заявка 2 пришла во время выполнения заявки 1:

XYX+5 (область D3)

г) заявка 1 пришла во время выполнения заявки 2: Y XY+25 (область D4)

Вероятность того, что будет обслужена одна заявка:

.



Задача 3. Задана электрическая схема системы, состоящей из 5 элементов. Событие - отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы заданы:

Событие А – безотказная работа всей системы за рассматриваемый промежуток времени. Требуется:

  1. Выразить событие А через или (i=1,2,3,4,5);

  2. Найти вероятность Р(А)(надежность системы).




Решение.

  1. Первый узел, состоящий из элементов 1,2,5 выходит из строя, если какой либо из этих элементов выходит из строя, т.е. происходит событие ().

Второй узел, состоящий из элементов 3,4 выходит из строя, если оба эти элементы выходят из строя, т.е. происходит событие ().

Вся цепь выйдет из строя, если оба узла не будут проводить ток, т.е.:

()()

  1. Обозначим - вероятность выхода из строя i-го элемента. Так как события, а следовательно и , независимы, то

Надежность системы:


Задача 4. Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 7 высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта при условии, что выборка производится:

  1. с возвращением,

  2. без возвращения.

Решение.

1) Пусть событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия высшего сорта;

событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия не высшего сорта.

Извлекаются 6 изделий из 12. Найдем число возможных сочетаний:

.

Интересующее нас событие В состоит в том, чтобы из 6 выбранных было 5 высшего сорта. Найдем сочетание из 6 по 1:

Вероятность события В:

2)

……………………………………………………

Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На первом станке изготовлено 60% деталей, на втором – 10%, на третьем – 30%. Вероятность изготовления брака на i-станке равна:

Определить вероятность того, что:

  1. изделие, взятое со склада, оказалось бракованным (событие А);

  2. бракованное изделие изготовлено на i-м станке (событие Bi).

Решение.

  1. событие Hi заключается в том, что изделие изготовлено на i-том станке

;;;

2) ;