Задача №1

Одновременно подбрасывают 2 кости, найти вероятность того, что сумма выпавших очков:

  1. =k

  2. >k+1

  3. заключена в [α;β]

Дано:

k=4; α=2 ; β=5.

Решение:

Произвольно одну кость будем считать первой, а другую- второй. Элементарный исход опыта запишем упорядоченной парой (i,j), i,j=, где i-число очков первой кости, j-на второй. Пространcтво элементарных событий включает в себя36 элементов (см. табл. 1), и все они равновозможны. Значит, эксперимент описывается классической моделью.

Таблица 1.

i

j

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)


  1. Пусть событие А1-сумма выпавших очков равна 4. Из таблицы 1 получаем, что А1={(1,3),(2,2),(3,1)}. .

  2. Пусть событие А2-сумма выпавших очков больше 5, тогда событие -сумма выпавших очков меньше или равно 5. Из таблицы 1 получаем, что ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}.

.


  1. Пусть событие А3-сумма выпавших очков меньше 3. Из таблицы 1 получаем, что А3={(1,1)}. .

  2. Пусть событие А4-сумма выпавших очков заключено в промежутке [2,5]. Из таблицы 1 получаем, что А4={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}. .


i

j

1

2

3

4

5

6

1






2






3






4







5







6







i

j

1

2

3

4

5

6

1



2




3





4






5







6







i

j

1

2

3

4

5

6

1





2






3







4







5







6








Задача №2

На некоторое обслуживающее устройство поступает 2 заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение Т минут. Время обслуживания 1-ой заявки - , 2-ой - .

Найти вероятность того, что:

  1. обе заявки будут обслужены.

  2. будет обслужена одна заявка.

Дано:


Решение:

Обозначим моменты поступления 1-й и 2-й заявки через х и y соответственно. По условию

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат x0y. В этой системе неравенства удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G координаты точек которой представляют собой все возможные значения моментов наступления заявок.

- условие обслуживания 1-ой заявки

-условие обслуживания 2-ой заявки

Событие А (обе заявки будут обслужены) наступает, если

Неравенство (1) выполняется для всех точек фигуры G , лежащих выше прямой .

а неравенство (2)- для всех точек фигуры G , лежащих ниже прямой . Вероятность того, что обе заявки будут обслужены :

- вероятность того, что будут обслужены обе заявки.

Так как исходы, при которых будут обслужены обе заявки и одна заявка составляют единую группу событий, то вероятность того, что будет обслужена только 1 заявка

- вероятность того, что будет обслужена одна заявка.

Задача №3

Задана электрическая схема . Вероятность безотказной работы элементов

  1. Выразить событие А (безотказная работа системы) через или

  2. Найти -вероятность безотказной работы системы.


Решение:

1)

2)

Задача №4

Из партии n изделий, где k- высшего сорта, последовательно выбирают m изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется l изделий высшего сорта.

1) выборка с возвращением;

2) выборка без возвращения;

Дано:

n=12

k=6

m=6

l=4

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что среди выбранных m=6 изделий окажется ровно l=4 изделий высшего сорта.

Выборка без возращения.

Пусть - извлечение детали высшего сорта (i=1,…6) в i-ой попытке, тогда - извлечение детали низшего сорта.

l=4 изделий высшего сорта из выбранных m=6 изделий можно взять способами.

Выразим интересующее нас событие:

подобных слагаемых 15.

Выборка с возращением.

  1. Т.к. выборка производится с возращением изделий, то вероятность того, что взятое изделие будет высшего сорта равно числу деталей k=6 высшего сорта к общему числу изделий n=12.

.Аналогично вероятность того, что взятое изделия будет низшего сорта равно числу изделий n-k=6 низшего сорта к общему числу изделий n=12.

Т.к. события и независимы, то

можно заключить, что все 6 слагаемых, составляющие событие А, так же равны.

2) Выборка без возращения.

Т.к. выборка производится без возвращения, то вероятность события зависит от того, какие детали были извлечены в предыдущих попытках.