Лекции ещё одни (NORMSPAC)

Посмотреть архив целиком

Нормированные векторные пространства

Пусть – векторное пространство. В этом пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие число, по аналогии с тем, как, например, в эвклидовом пространстве каждой паре точек можно поставить в соответствие число, определяющее расстояние между ними. Аналогом расстояния в векторном пространстве является понятие нормы вектора, ставящей в соответствие вектору некоторое число, обозначаемое . Норма вектора обладает следующими свойствами:

  1. для и ;

  2. для любого вектора и любого числа ;

  3. для любых - аксиома треугольника, или условие выпуклости.

В нормированном векторном пространстве можно определить расстояние между его элементами (векторами), удовлетворяющее всем аксиомам расстояния, по формуле: . Таким образом, любое нормированное векторное пространство автоматически является метрическим пространством.

Пусть и - два нормированных векторных пространства над полем вещественных или комплексных чисел. Отображение называется линейным, если

Если пространство конечно, то линейное отображениев удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, равномерно непрерывно. В самом деле

Теорема Линейное отображение одного нормированного пространства в другое, непрерывное в нуле, непрерывно всюду и удовлетворяет условию при всех ; кроме того, это отображение удовлетворяет условию Липшица, а значит, равномерно непрерывно.

Точная нижняя грань чисел k, с которыми выполняется неравенство , называется нормой линейного отображения и определяется следующим образом:

Отсюда следует, что для любого вектора : .

Множество непрерывных линейных отображений векторного нормированного пространства в подобное же пространство является нормированным векторным пространством (с нормой ). Если же пространство является полем скаляров (те), то называется пространством линейных форм (или функционалов) на . Пространство непрерывных линейных форм называется сопряженным к и обозначается .

Следует иметь в виду, что если пространство не конечномерно, то существуют линейные разрывные отображения.

Как уже говорилось выше, через норму в векторном пространстве можно определить понятие расстояния (метрики), а следовательно, можно рассматривать сходимость по метрике в построеном метрическом пространстве. Последовательность в метрическом пространстве называется фундаментальной, если . Если любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве, то пространство называется полным. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Если - нормированное векторное пространство, а - банахово пространство, то пространство также банахово; в часности, банаховым будет и сопряженное к пространство .

Если и - нормированные векторные пространства с нормами и