Математический анализ (Теория Вероятности) (Матем анализ 3 семестр вероятность)

Посмотреть архив целиком

39



Галкин С.В.

















Краткий курс математического анализа

в лекционном изложении

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

вероятность



























Москва 2005




Лекция11.


Вероятность


В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).

Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.

Пространством элементарных событий (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {1, …n}, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.

Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.

Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (1=Г) или решкой (1=Р). =(Г,Р).

Пример. Бросаются две монеты = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}

Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку.

= {(x,y), a

Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается .

Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается .



Действия над событиями.


События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.


Пространство будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.

Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор десятки

Суммой двух событий А и В называется событие

С = А + В (или С = АВ), состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А, либо В.

Пример.

С = А + В – выбор любой червонной карты или любой десятки

Произведением двух событий А и В называется событие D = AB (или D = AB), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В.

Пример. АВ – выбор десятки червей




Разностью двух событий А и В называется событие

А\В, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В.

Пример. А\В –выбор любой червонной карты, кроме десятки

Классификация событий

Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим и будем называть противоположным событием.

Пример. А –выбор червонной карты;

выбор любой карты другой масти.. = \А

Два события А и В будем называть совместными, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВØ.

Пример. А выбор червонной карты и

В – выбор десятки – совместные события, так как

АВ = выбор червонной десяткиØ


Если общих элементарных событий у событий А и В нет, то их будем называть несовместными событиями

(АВ = Ø).

Пример. А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}.

В – выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5}

Очевидно, что А и В несовместны.


Полная группа событий это совокупность n событий А1, А2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т.е.

Свойства операций над событиями


1. =Ø 6. А = А

2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А В, то

3. А А = А 8 = А А + В = В

4. А + = 9. А В = А

5. А + Ø = А 10. = Ø


Коммутативность операций


А + В = В + А; А В = В А


Ассоциативность операций


А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С

Дистрибутивность операции сложения относительно умножения


А (В + С) = А В + А С

Дистрибутивность операции умножения относительно сложения


А + (В С) = (А + В)(А + С)

Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BAA, ACA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.

Правило двойственности (теорема де Моргана)


Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным



Пример.



Алгебра событий.


Пусть - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что

  1. S, 2) A, B S A+BS, ABS, A\BS.


Следствие = \ S


Пусть содержит конечное число элементов, = {1,…n}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств .

S={, {1}, … {n}, {1,2}, …{1,n}, …{n-1,n}, …{1, …,n}}, в ней всего 2n элементов

Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.

Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, A\B, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий.

Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится - алгебра событий.

Сигма-алгеброй (-алгеброй) событий называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что

  1. A,

2) A1, A2, …An, …( A1+A2+ …+An+, …), .


Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.



Вероятность.


Классическое определение вероятности события

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть N – общее число случаев в Ω, а NА число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа NA случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = 1, 2,…,6 N = 6.

А – количество очков кратно трем А = 3,6 NA = 2.

.


2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = 11, 12,…,66; N =36.

kl = (ak, bl), k,l =

А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.

А – шар черный.

Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (NA = N);

2) 0 ( 0;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( NA+B=NA+NB)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;

5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р() = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (NA NB).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку



Сочетания

Размещения

Без возвращения

С возвращением


Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm==m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).



Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

  1. Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 32 = 9.

  1. Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

  2. Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

  3. Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример. Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .


Геометрическая вероятность

Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= NA/N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.

Событие А – волчок касается плоскости точкой из окрашенного сектора.

Множество точек на ободе в окрашенном секторе имеет мощность континуума. Делим всю окружность на N маленьких одинаковых дуг. Число дуг на окружности, принадлежащих окрашенному сектору, пусть равно NA.

.

В общем случае имеется мера mes