Шпора по теории (Шпаргалки по ТеорВер)

Посмотреть архив целиком

1. Что называют:

Случайное испытание – эксперимент, исход которого нельзя определить однозначно условиями проведения опыта.

Элементарное событие (элементарный исход) – любой простейший (т. е. неделимый в условиях данного опыта) исход опыта. Элементарные события являются взаимоисключающими.

Пространство элементарных событий (исходов) – множество всех элементарных исходов.

Случайным событием называют любой набор элементарных исходов, т. е. произвольное подмножество пространства элементарных исходов.

2. Дайте определение вероятности по Лапласу (комбинаторное определение).

Вероятностью события A называют отношение числа NA благоприятствующих событию A элементарных исходов к общему числу N равновозможных элементарных исходов, т. е. . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Свойства: 1) ; 2) для достоверного события ; 3) если события A и B несовместны (AB = ), то .

3. Дайте геометрическое определение вероятности. Что общего между геометрическим определением вероятности и определением вероятности по Лапласу?

Вероятностью события A называют число P(A), равное отношению меры множества A к мере множества : . Геометрическая вероятность сохраняет свойства вероятности P(A) в условиях классической схемы. Обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов тогда, когда представляет собой подмножество пространства R, R2,Rn.

4. Дайте аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности.

Пусть каждому событию A (т. е. подмножеству A пространства элементарных исходов ) поставлено в соответствие число P(A). Числовую функцию P называют вероятностью ( или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. аксиома неотрицательности:

  2. аксиома нормированности:

  3. расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A1,…,An,… справедливо равенство: P(A1+…+An+…) = P(A1)+…+P(An)+…

Значение P(A) называют вероятностью события A.

5. Используя аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности, докажите утверждения.

Вероятность удовлетворяет следующим свойствам:

  1. Вероятность противоположного события:

  2. Вероятность невозможного события: P() = 0

  3. Если , то

  4. Вероятность заключена между 0 и 1:

  5. Вероятность объединения двух событий:

  6. Вероятность объединения любого конечного числа событий:

Доказательство.

Поскольку , то, согласно расширенной аксиоме сложения, , откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утв. 1. Утв. 2 вытекает из равенства A = A + и расширенной аксиомы сложения. Пусть . Тогда B = A + (B\A). В соответствии с расширенной аксиомой сложения P(B) = P(A) + P(B\A). Отсюда и из аксиомы неотриц. приходим к утв. 3. В частности, так как всегда , то с учетом аксиомы неотриц. получаем утв. 4. Поскольку ,, то, используя расширенную аксиому сложения, находим и . Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность P(B\A), выраженную из второго равенства, приходим к утв. 5. Утв. 6 можно доказать с помощью метода матем. индукции. Так, для трех событий A, B и С:

6. Дайте определение условной вероятности. Как связаны условная и безусловная вероятности? Что понимают под теоремой умножения вероятностей?

Условной вероятностью события A при условии (наступлении) события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B: . При этом предполагают, что . Условная вероятность P(A|B) обладает всеми свойствами безусловной вероятности P(A)(Доказать аксиомы для условной вероятности). Смысл заключ. в том что условная вероятность есть безусловная вероятность, заданная в новом пространстве элементарных исходов, совпадающем с событием В.

Теорема умножения вероятностей. Пусть событие A=A1A2…An (т. е. A – пересечение событий A1, A2,…, An) и P(A)>0. Тогда справедливо равенство: P(A) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2) … P(An|A1A2,,,An-1), называемое формулой умножения вероятностей.

  1. Дайте определение:

События A и B, имеющие ненулевую вероятность, называют независимыми, если условная вероятность A при условии B совпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятность B при условии A совпадает с безусловной вероятностью B, т. е. P(A|B) = P(A) или P(B|A) = P(B). В противном случае события А и B называют зависимыми. События зависимы тогда и только тогда, когда (по формуле умножения).

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n событий H1, H2, …, Hn, которые удовлетворяют следующим условиям:

  1. они являются попарно несовместными, т. е. HiHj = при

  2. их объединение есть достоверное событие: .

События H1, …, Hn называются гипотезами. Если события удовлетворяют второму из этих условий, то их совокупность называют полной группой событий. Гипотезы – это попарно несовместные события, образующие полную группу событий.

8. Выведите формулу полной вероятности.

Пусть для некоторого события А и гипотез H1, …, Hn известны P(H1), …, P(Hn), которые положительны, и P(A|H1),…, P(A|Hn). Тогда безусловную вероятность P(A) определяют по формуле: P(A) = P(H1)P(A|H1)+…+P(Hn)P(A|Hn), которую называют формулой полной вероятности.

Доказательство. Представим событие A в виде: A=A=A(H1+…+Hn)=AH1+…+AHn. С учетом того, что события AHi несовместны для i=1…n, имеем: P(A)=P(AH1)+…+P(AHn). В соответствии с формулой умножения вероятностей получаем: P(AH1)=P(H1)P(A|H1), … , P(AHn)=P(Hn)P(A|Hn). Поэтому P(A) = P(H1)P(A|H1)+…+P(Hn)P(A|Hn).

9. Получите формулу Байеса.

Пусть для некоторого события A, P(A)>0, и гипотез H1, …, Hn известны P(H1), …, P(Hn) (P(Hi)>0, i=1…n) и P(A|H1), …, P(A|Hn). Тогда условная вероятность P(Hi|A), i=1…n, гипотезы Hi при условии события A определяется формулой Байеса:.

Доказательство. Согласно определению условной вероятности (см. вопрос 6), . Выражая теперь по формуле умножения вероятностей P(AHi) через P(A|Hi) и P(Hi), получаем P(AHi)=P(Hi)P(A|Hi). Поэтому . Подставляя вместо вероятности P(A) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой полной вероятности (см. вопрос 8), приходим к утверждению теоремы.

10. Дайте определение независимых испытаний. Что понимают под схемой Бернулли?

Независимые испытания – вероятность успеха в k-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до k-го.

Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую следующим условиям:

  1. при каждом испытании различают лишь два исхода: «успех» (появление события А) и «неудача»( появление события )

  2. испытания являются независимыми

  3. вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна P(A) = p. Вероятность неудачи обозначим q=1-p.

11. Докажите, что при n испытаниях по схеме Бернулли вероятность Pnm того, что ровно m из них будут успешными, определяется равенством: .

Доказательство. Пространство элементарных исходов состоит из 2n исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. Каждому элементарному исходу =УННУ…УН можно поставить в соответствие вероятность P() = P(УНН...У). В силу независимости испытаний события У, Н, Н,..., У являются независимыми, поэтому по теореме умножения вероятностей имеем: P() = pi qn-i, если успех имел место i раз. Событие Am происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход , в котором i=m. Вероятность любого такого элементарного исхода равна pm qn-m. Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить m букв «У» на n местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно . Так как Am есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности P(Am) = Pnm данную в условии формулу.

12. Проводятся n испытаний по схеме Бернулли и . Докажите, что:

1.

2. - вероятность того, что число успешных испытаний (Ак) не превосходит , но больше m1, где .

1. ; 2.

Второе следует из того что события Ак несовместны при разных к. В частном случае - хотя бы один успех.

13. Дайте определение скалярной случайной величины, сформулируйте и докажите основные свойства ее функции распределения.

Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента.

Скалярную функцию X(), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого xR {: X()<x} – множество элементарных исходов, для которых X()<x является событием.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события {X<x}, т. е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов , для которых X()<x: F(x)=P{X<x}. Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:

1.