Параметры цепи, определение напряжения (150546)

Посмотреть архив целиком


Задача 1. Ток в цепи равен i. Параметры цепи r1, r2, L, и 1/С заданы в таблице вариантов. Определить показания приборов. Написать мгновенное значение напряжения u1 (t).



Дано

i, А

R1, Ом

L, Ом

R2, Ом

1/С, Ом

3*2 (1/2) *sin (wt - 45)

4

3

6

8


Решение.

Определим действующую силу тока, зная ее амплитудное значение


I=Imax/2^0.5=3 (A);


Найдем общее сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активных и реактивных составляющих (что следует из треугольника сопротивлений):



Z= ( (R1+ R2) ^2+ (XL - XC) ^2) ^0.5=8.60 (Ом);


Найдем общее действующее напряжение цепи (показания 1-го вольтметра), как произведение действующей силы тока на общее сопротивление цепи:


U=I*Z=25,81 (В);


Найдем амплитудное значение общего напряжения цепи:


Umax=U*2^0,5=36,50 (В);


Найдем угол сдвига фаз напряжения относительно тока


=arcsin ( (XL - RC) /Z) = - 410;


Запишем мгновенное значение напряжения u1 (t):


u1 (t) = Umax*sin (t+ +) = 36.50*sin (t - 45 - 41) = 36.50*sin (t - 86);


Поскольку активная мощность участка цепи (мощность, показываемая ваттметром) определяется как произведение квадрата действующей силы тока на активное сопротивление этого участка, то:


P=I^2*R1=36 (Вт);


Определим показания 2-го вольтметра. Для этого найдем значение полного сопротивления, создаваемого активным сопротивлением R2 и емкостным ХС:


Z2= (R2^2+ ХL^2) ^0.5=30 (B);

U=I* Z2=3*30=90 (B);


Задача 2. В сеть переменного тока с напряжением u включены параллельно три приемника энергии, активные мощности и коэффициенты мощности, которых известны (смотреть таблицу вариантов). Определить токи приемников и ток в неразветвленной части цепи, а также коэффициент мощности всей установки.



Дано

U, В

Р1, кВт

cos1

Р2, кВт

cos2

Р3, кВт

cos3

380

8

1

18

0,7

9

0,7


Решение.

Поскольку активная мощность равна произведению активной силы тока на напряжение то, учитывая коэффициенты мощности, которые равны отношению активного тока к полному, найдем полные, активные и реактивные токи каждой ветви (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока).

Для первой ветви:


Ia1 = P1/U =21.05 (A);

I1 = Ia1/cos1 =21.05 (A);

Iр1 = (I1^2 + Ia1^2) ^0.5 =0 (A);


т.е. характер нагрузки первой ветви активный.



Для второй ветви:


Ia2 = P2/U =47.37 (A);

I2 = Ia2/cos2 =67.67 (A);

Iр2 = (I2^2 + Ia2^2) ^0.5 = - 48.32 (A);


т.е. характер нагрузки второй ветви активно-емкостный.



Для третьей ветви:


Ia3 = P3/U =23.68 (A);

I3 = Ia3/cos3 =33.83 (A);

Iр3 = (I3^2 + Ia3^2) ^0.5 = 72.48 (A);


т.е. характер нагрузки третей ветви активно-индуктивный.

Найдем активный ток неразветвленной ветви, как сумму активных токов параллельных участков:


Ia = Ia1 + Ia2 + Ia3 = 92.11 (A);


Найдем реактивный ток неразветвленной ветви, как сумму реактивных токов параллельных участков (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока):



Iр = Iр1 + Iр2 + Iр3 = - 24.16 (A);


Найдем общий ток неразветвленной части цепи, как корень из суммы квадратов его составляющих:


I = (Iр^2 + Iр^2) ^0.5 =95.22 (A);


Найдем коэффициент мощности цепи, как отношение активной составляющей тока к полному току цепи:


= Ia / I = 0.967;


Задача 3. В схеме заданы напряжение u23 и все параметры цепи. Необходимо: Определить действующие значения токов во всех ветвях и входного напряжения u;

Определить активную, реактивную и полную мощность цепи и проверить баланс мощностей;

Определить коэффициент мощности цепи;

Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.



Дано

U23, В

R1, Ом

ХL1, Ом

ХC1, Ом

R2, Ом

ХL2, Ом

ХC2, Ом

R3, Ом

ХL3, Ом

ХC3, Ом

200

6

2

10

6

8

0

0

2

10


Решение.

Найдем общее сопротивление ветвей 2 и 3, как корень квадратный из суммы квадратов активных и реактивных сопротивлений (причем знак “-” соответствует емкостному характеру нагрузки):


Z2= (R2^2 + XL2 ^2) ^0.5=10 (Ом); Z3= (XL3 - XC3) = - 8 (Ом);


Найдем полные токи ветвей 1 и 2, как отношение напряжения участка 2-3 к общему сопротивлению каждой ветви:


I2= U23/Z2 =20 (A); I3= U23/Z3 =25 (A);


Найдем коэффициент полезной мощности ветвей 1 и 2, как отношение активного сопротивления ветви к полному сопротивлению ветви:


cos (2) = R2/Z2= 0.6;

cos (3) = R3/Z3= 0;


Найдем активные составляющие токов ветвей 1 и 2, как произведение полного тока ветви на коэффициент полезной мощности ветви:


Ia2= I2 * cos (2) =12 (A);

Ia3= I3 * cos (3) =0 (A);


Найдем реактивные составляющие токов ветвей 1 и 2, как корень квадратный из разности квадратов полного и активного токов (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока, т.е. XC > XL):


Iр2= (I2^2 - Ia2^2) ^0.5=16 (A);

Iр3= (I3^2 - Ia3^2) ^0.5= - 25 (A);


Найдем активную и реактивную составляющую тока участка 2-3 как сумму активных составляющих ветвей 2, 3 и реактивных составляющих ветвей 2, 3 соответственно (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока):


Ia23= Ia2+ Ia3=12 (A);

Iр23= Iр2+ Iр3= - 9 (A);


Найдем полный ток цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного токов участка 2-3:


I= (Iа23^2 + Iр23^2) ^0.5=15 (A);


Найдем напряжение участка 1-4 (активное), как произведение полного тока цепи на активное сопротивление R1:


U14=I * R1 =90 (B);


Найдем напряжение участка 4-5 (индуктивное), как произведение полного тока цепи на индуктивное сопротивление XL1:


U45=I * XL1 =30 (B);


Найдем напряжение участка 5-2 (емкостное), как произведение полного тока цепи на емкостное сопротивление XС1:


U52=I * XС1= - 150 (B);


Найдем активное напряжение участка 2-3, как произведение напряжение участка 2-3 на коэффициент полезной мощности участка 2-3 (с учетом того, что коэффициент полезной мощности участка 2-3 равен отношению активного тока к полному):


Ua23 = U23 * (Ia23/I) =160 (B)


Найдем реактивное напряжение участка 2-3, как корень квадратный из разности квадратов полного и активного напряжений (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру напряжения, т.е. Iр23 < 0):


Uр23 = (U23 ^2 - Ua23^2) ^0.5 =-120 (B);


Найдем активное напряжение цепи, как сумму напряжения участка 1-4 и активной составляющей участка 2-3


Uа = U14 + Uа23 =150 (B);


Найдем реактивное напряжение цепи, как сумму напряжения участка 4-5, 5-2 и реактивной составляющей участка 2-3


Uр = Uр45 + Uр52 + Uр23 = - 240 (B);


Найдем полное напряжение цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного напряжений:


U = (Uа ^2+ Uр ^2) ^0.5=346.6 (B);


Найдем коэффициент полезной мощности цепи, как отношение активного напряжения цепи к полному напряжению цепи:


cos () =Uа / U =0.721;


Найдем полную мощность цепи Q, как произведение полного тока цепи на напряжение:


Q = U * I =146088 (Bт);


Найдем активную мощность цепи P, как произведение полной мощности цепи на коэффициент полезной мощности:


P = Q * cos () = 105386 (Bт);


Найдем реактивную мощность цепи S, как корень квадратный из разности квадратов полной и активной мощностей:


S= (Q^2 -P^2) ^0.5=101170 (Bт);


Задача 4. В схеме заданы параметры цепи и ЭДС источников. Известно также, что ЭДС Е1 опережает Е2 на угол . Необходимо:

На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах: а) дифференциальной и б) символической.

Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных цепей

По результатам, полученным в пункте 2, определить показания ваттметра двумя способами:

а) с помощью выражений для комплексов тока и напряжения;

б) по формуле UIcos (UI)

Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Построить круговую диаграмму для тока в одном из сопротивлений при изменении модуля этого сопротивления от 0 до .

Пользуясь круговой диаграммой построить график изменения этого тока в зависимости от модуля сопротивления.

Используя данные расчета, полученные в пункте 2, записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения. Построить график зависимости одной из этих величин.

Полагая, что между двумя индуктивностями, расположенными в разных ветвях заданной системы, имеется магнитная связь при коэффициенте магнитной индукции М составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической

Примечание 1. При отсутствии в данной схеме второй индуктивности, вторую нагрузку ввести дополнительно в одну из ветвей.

Примечание 2. Ориентируясь на ранее принятые направления токов в ветвях одноименные зажимы индуктивных катушек выбрать произвольно так, чтобы их встречное включение и обозначить эти зажимы звездочками.



Дано

E1, B

E2, B

R1, Ом

L1, мГ

C1, мкФ

R2, Ом

L2, мГ

C2, мкФ

R3, Ом

L3, мГ

C3, мкФ

f, Гц

240

240

п/4

12

2

20

14

8

100

4

5

50

500


Решение.

1) На основании законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:


i1+ i2+ i3 = 0;


Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:


e1 = i1*R1+ 1/C3* i3dt +i3 *R3;


Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:


e2 = 1/C2*i2dt + L2*di2/dt + 1/C3* i3dt +i3 *R3;


Получили систему из 3 уравнений:

i1+ i2+ i3 = 0;

e1 = i1*R1+ 1/C3* i3dt +i3 *R3;

e2 = 1/C2* i2dt + L2*di2/dt + 1/C3* i3dt +i3 *R3;


б) символической.

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:


I1+ I2+ I3 = 0;


Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:


20.5 * E1 + 20.5 *j* E1 = I1*R1 - I3*j*1/wC3+ I3 *R3;


Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:


E2 = - I2*j*1/wC2+ I2*j*wL2 - I3*j*1/wC3 + I3 *R3;


Получили систему из 3 уравнений:


I1+ I2+ I3 = 0;

20.5 * E1 + 20.5 *j* E1 = I1*R1 - I3*j*1/wC3+ I3 *R3;

E2 = - I2*j*1/wC2+ I2*j*wL2 - I3*j*1/wC3 + I3 *R3;


Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом двух узлов.


E1 =240*e j45 = 170+170j (B);

E2 =240*e j0 =240 (B);

R1 =12*e j0 =12 (Ом);

R3 =4*e j0 = 4 (Ом);

XL2 =wL2*e j90= 3.14*2*500*8=25.12*e j90 (Ом);

Xc2 = - 1/w C2*e j90= - 1/ (3.14*2*500*100) = - 3.18*e j90 (Ом);

Xc3 = - 1/w C2*e j90= - 1/ (3.14*2*500*50) = - 6.37*e j90 (Ом);


Запишем сопротивления ветвей в комплексной форме:


Z1 = R1 =12*e j0;

Z2 = XL2 +XC2 =21.94*e j90;

Z3 = XL3 +R3 =5.92*e -j47.53;


Найдем проводимости ветвей:


y1=1/Z1=1/12*e j0 =1/12;

y2=1/Z2=1/21.94*e - j90 =-j*1/21.94;

y3=1/Z3=1/5.92*e j47.53 =0.11405+0.12460j;


Найдем напряжение между узлами а и b:


Uab= (240*e j45 *1/12*e j0 - 240*e j0 *1/21.94*e j90) / (1/12-j*1/21.94 + +0.11405+0.12460*j) = (20*e j45 -10.97*e j90) / (0.19738+0.07902*j) = (14.14213-3.17213*j) / (0.21261 *e j21.8) =68.17*e -j9;

Uab =67.33+ j* 0.93;


Найдем токи цепи:


I1= (E1 - Uab) *y1= (170+j*170 - (67.33+j*0.93)) /12=16.48*e j59;

I2= (E2 - Uab) *y2= (240- (67.33+j*0.93)) /21.94*e j90 =7.87*e - j91;

I3= Uab*y1=68.17*e -j9 / (5.92*e -j47.53) =11.51*e j36.53


По результатам, полученным в пункте 2, определим показания ваттметра двумя способами:

а) с помощью выражений для комплексов тока и напряжения;

б) по формуле UIcos (UI):


P= UIcos (UI) =197.76*16.48cos (59 - 45) = 3162.3 (Вт);


Построим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.



Построим круговую диаграмму для тока во второй ветви при изменении модуля сопротивления этой ветви от 0 до . Для этого найдем максимальный ток Ik при сопротивлении третей ветви, равном 0:


Ik = E1*y1 + E2*y2 = (170+170j) /12 - 240*j*1/21.94 = 14.17+ 3.22j = =14.53*e12.8;


Найдем сопротивление цепи относительно зажимов a и b:


Zab=1/ (y1+y2) +Z3=-1/ (j*1/21.94+1/12) + 0.11405+0.12460j = 0.05+0.08j+ +0.11405+0.12460j=0.164+0.205j=0.26*e51;


В окружности

хорда равна Ik = 14.53*e12.8;

коэффициент равен k=0.36;

вписанный угол = - 7



Пользуясь круговой диаграммой построим график изменения этого тока в зависимости от модуля сопротивления.

Используя данные расчета, полученные в пункте 2, запишем выражения для мгновенных значений тока и напряжения. Построим график зависимости одной из этих величин.


Uab=68.17* sin (wt-9);

I2=11.51* sin (wt + 36.53)


График - синусоиды, смещенные относительно оу на 90 и - 36,530 соответственно.

Полагая, что между двумя индуктивностями, расположенными в разных ветвях заданной системы, имеется магнитная связь при коэффициенте магнитной индукции М (добавим вторую индуктивность в 3 ветвь) составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:


Случайные файлы

Файл
133299.rtf
13616.rtf
41650.rtf
101706.rtf
143230.rtf