Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил (150343)

Посмотреть архив целиком













«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»



Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).

Дано:

m = 4, кг

V0 = 12, м/с

Q = 12, Н

R = 0,8V2, Н

L = 2.5, м

Fx = -8cos(4t), Н

Определить:

Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).

Решение:

1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:



Далее находим:


Учитывая, что Vx = V:


или


Выведем:



где g = 10 м/с.

Тогда:



Разделяя переменные и интегрируя:



По Н.У. при x = 0: V = V0, откуда:


;


Получим:


;


Откуда:


и


В результате:

Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:



2. Рассмотрим движение на BC.


Рассмотрим движение ВС (V0 = V). Изобразим , , и .


или , где


При t=0; V = V0 = VB = 8.29 м/с:

С2 = VB = 8.29 м/с.




К-3 Вариант 18



авр

А

aA Cv

авр

ac

ацс

Eoa aцс C

aB

Woa


aB О В

Y

aB



X


Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 Woa=2 EOA=6


Найти: Ускорения во всех точках


Va=Woa*OA=20

Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45

Wab=Va/Cva=4/21/2

Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20

Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2

aAbp= Eoa*OA=60

aAцс=WOA2*OA=40

aBцс= WOA2*AB=80

aB= aAbp +aAцс +aABЦС +aABbp

X: 21/2/2*aB= aAцс +aABBP

Y: 21/2/2*aB= aABP +aABЦС

aABBP =========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100

EAB=100/10=10

aB= aAвp +aAцс +aACЦС +aACвp

aACвp = EAB*АВ=50

aACЦС= W2*АС=40

X: 21/2/2*ac= aAцс +aABBP

Y: 21/2/2*ac= aABP +aABЦС

aC=( acx2 +acy2)1/2


«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».


Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и

для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Исходные данные:



Решение:

Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:

- траектория точки в координатной форме.

Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.


Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:



По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:



Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):


Координаты (см)

Скорость (см/с)

Ускорение (см/с2)

кривизны (см)

x

y

Vx

Vy

V

Wx

Wy

W

Wτ

Wn

2.5

5.6

-5.4

3.2

6.3

-12

-8.3

14.6

5.5

13.5

2.922


Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени

Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.

Исходные данные:



Решение:

Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:


- траектория точки в координатной форме.


Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:



По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:



Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:



Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:


Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):


Координаты (см)

Скорость (см/с)

Ускорение (см/с2)

кривизны (см)

x

y

z

Vx

Vy

Vz

V

Wx

Wy

Wz

W

Wτ

Wn

2.5

5.6

3.5

-5.4

3.2

3.5

7.2

-12

-8.3

0

14.6

5.3

15.5

3.6


«Определение реакций опор твердого тела».

Задание: Найти реакции опор конструкции.


Дано:


Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см

Определить:

Реакции опор конструкции.

Решение:

К раме ABCD приложены сила тяжести , сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:



Уравнения проекций сил на оси координат:



Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.

Результаты вычислений заносим в таблицу:


Силы, кН

S

XA

YA

ZA

XB

ZB

1.15

-6.57

0.57

-1

-12.57

2


Проверка:



Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.


В 18. Д – 1.


Дано: VA = 0,  = 30, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и .

Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1 : = Gsin - F , (F = fN = fGcos)  = gsin - fgcos,

Дважды интегрируя уравнение, получаем:


= g(sin - fcos)t + C1 , x1 = g(sin - fcos)t2/2 + C1t + C2 ,


По начальным условиям (при t = 0 x10 = 0 и = VA = 0) находим С1 и С2 : C1 = 0 , C2 = 0,

Для определения VB и  используем условия: в т.B (при t = ) , x1 = ℓ , = VB . Решая систему уравнений находим:

x1 = ℓ = g(sin - fcos)2/2  2 = 9,81(sin30 - 0,1cos30)2/2 ,   = 0,99 c ,

= VB = g(sin - fcos) VB = 9,81(sin30 - 0,1cos30)0,99 = 4,03 м/с ,


Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения

в проекции на оси X , Y : = 0 , = G ,

Дважды интегрируем уравнения: = С3 , = gt + C4 ,


x = C3t + C5 , y = gt2/2 + C4t + C6 ,


Для определения С3 , C4 , C5 , C6 , используем начальные условия (при t = 0): x0 = 0 , y0 = 0 , = VBcos , = VBsin ,

Отсюда находим : = С3 ,  C3 = VBcos , = C4 ,  C4 = VBsin


x0 = C5 ,  C5 = 0 , y0 = C6 ,  C6 = 0

Получаем уравнения : = VBcos , = gt + VBsin


x = VBcost , y = gt2/2 + VBsint


Исключаем параметр t : y = gx2 + xtg ,

2V2Bcos2


В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение VB и d , находим h: h = 9,8132 + 3tg30 = 5,36 м ,

24,032cos230


Случайные файлы

Файл
121477.rtf
Зубья.doc
13667.rtf
5567-1.rtf
66146.rtf