Определение интегралов (86425)

Посмотреть архив целиком

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

а)



Используемый прием интегрирования называется подведением под знак дифференциала. Проверим результат дифференцированием.



б)

В этом интеграле также используется подведение под знак дифференциала



Проверим результат дифференцированием.



в)



Для решения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования "по частям". Приведем формулу интегрирования по частям:



В этом интеграле распишем составляющие следующим образом:



Продифференцируем u и проинтегрируем dv чтобы мы могли применить формулу интегрирования по частям:



Подинтегральное выражение есть неправильная рациональная дробь. Необходимо привести ее к сумме правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель.



Вернемся к исходному интегралу:



Проверим результат дифференцированием:



г)

интеграл дифференцирование уравнение парабола


Подинтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Необходимо преобразовать ее в сумму правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель:



Подинтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Чтобы проинтегрировать её необходимо её представить в виде суммы простейших дробей. Найдем корни знаменателя



по теореме Виета



Разложим правильную рациональную дробь в сумму простейших методом неопределенных коэффициентов:



Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В:



Решая СЛАУ находим значения коэффициентов:



Возвратимся к исходному интегралу:



Результат проверим дифференцированием:



Задание. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.



Перейдем к замене переменных в определенном интеграле:



Задание. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

Решение. Площадь области S, ограниченной снизу функцией g(x), сверху- функцией f(x), слева - вертикальной прямой , справа - вертикальной прямой равна равна определенному интегралу:



Так как мы пока не знаем, какая же из функций является большей на отрезке , построим чертеж. Точки , являются абсциссами точек пересечения графиков этих двух функций.



Как видно из построения парабола лежит выше прямой на отрезке, поэтому:



Абсциссы точек пересечения суть соответственно -6 и -1. Эти значения мы также можем получить решив в системе уравнения двух кривых



по теореме Виета имеем: , . Теперь осталось только применить формулу вычисления площади криволинейной области:


-6

-1


Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при



Решение: имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций от х:

Запишем исходное выражение в виде:



Выберем функцию такой чтобы выражение в скобках равнялось нулю:



Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:



Так как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим найденное значение в уравнение для определения u.



Таким образом находим общее решение системы



Подберем переменную С так чтобы выполнились начальные условия , что будет являться частным решением дифференциального уравнения:



Полученное частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным начальным условиям.



Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , при . (,)

Решение: Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка:



Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего однородного уравнения:



Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического уравнения и по ним определить вид решения.

Характеристическое уравнение в нашем случае есть:



имеет действительные и различные корни: , .

Общий интеграл есть:

Правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид: , где - многочлен 0-й степени, =2 (не является корнем характеристического многочлена).

поэтому частное решение следует искать в виде:



где - постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем иметь:



Имеем решение . Итак, частное решение нашли в виде:



Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:



Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:

При х=0 функция равна 2



При х=0 первая производная функции равна -1:



Составим систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2



Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:



Размещено на Allbest.ru


Случайные файлы

Файл
CBRR5565.DOC
11089.rtf
154768.rtf
181668.rtf
72767.rtf