Область определения функции (86415)

Посмотреть архив целиком

Федеральное агентство по образованию

Среднего профессионального образования

«Профессиональный лицей №15»

Кафедра: Станочник (металлообработка)











Контрольная работа

по курсу: «Математика»

на тему: «Область определения функции»





Выполнил студент гр. Т 102

Бахирев Я.А.


Проверил: Корнилова Н.Г.




Воткинск

2010


1. Решить неравенство


x2 – 3x+5

x-1


Решение.

Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов.

Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения

x-1

D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:


x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;).


Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:


x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1)

x-1x-1=0 (2)


Решая уравнение (1), получим:


x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.


Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.

Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:


f(0) 02-3 0+5 f (2)= 22-3 2+5


    1. 2-1

Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:


f (x) < 0 f (x)>0

f (x) > 0, x c (1;).

Ответ: (1;).


2. Решить неравенство


Log5(3x+1)<2


Решение.

Используя свойства логарифмов положительных чисел


loga a=1

m loga b =loga bm


преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида


loga f (x) < loga g(x)


Log5(3x+1)<2, log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)552.


При a>1 функция y=loga t в области определения D(loga), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, то loga t1 > loga t2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:


Если a > 1, то

Loga f(x) < loga g(x)  0 < f(x) < g(x)


log5(3x+1) < log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 - 1,

11

3 < x < 8, x с 3; 8.

1

Ответ: 3; 8.


3. Найдите все решения уравнения


sinx cosxv3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.


Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:


sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.

|cosx=0

|sinx-v3=0

0<x<2п


Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения


cosf(x)=0 f(x)=п +пn, n c Z 2


Решим уравнение (1):


cosx=0, x=п+пn, n с Z


Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:


0< п +пn<2п, п <пn<2п п

222, п < пn < 3п 1 < n < 3

2 п п 2 п, 2 2.


Так как n с Z, то n=0 и n =1. Подставляя n=0 и n=1

в уравнение (4), получим:

sinx=v3 – решений нет, так как - 1<sinx<1 при любых значениях x.

Ответ: п 3п

2, 2.


4. Найдите наименьшее значение функции


f(x)=3x2-18x+7 на промежутке [-5; -1].


Решение.

Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.

Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:(f(x) +g(x)) =f (x) + g (x)

(xm) = mxm-1

C=0


f(x)=(3x2-18x+7) =3 (x2)-18 x +7=3 2x2-1-18 x1-1 +0=6x-18.


Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:


f(x)=0


6x-18=0, x=3 c [-5; -1].

Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:

f(x)=3x2-18x+7,

f(-5)=3 (-5)2-18 (-5)+7=75+90+7=172,

f(-1)=3 (-1)2-18 (-1)+7=3+18+7=28.

Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:

min f(x)=f(-1)=28.

[-5; -1]

Ответ: min f(x)=f(-1)=28.

[-5; -1]


5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f(x)=x+5sinx


Решение.

Найдем область определения D(f) функции f(x):


D(f)=(- ~;~).


Все функции, имеющие производную, равную f(x), называют множеством всех первообразных F(x) функции f(x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D(f)=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f(x) на указанном промежутке и (общепринято) обозначают:


| f(x)dx=F(x)+C


Используя свойства неопределенного интеграла


|(f(x) + g(x)) dx= |f(x) dx + |g(x)dx

|af(x) dx=a|f(x)dx


и таблицу неопределённых интегралов


xm+1

| xmdx=m+1 + C, где m= -1

|sinx dx= -cosx + C


получим:


F(x)=| f(x) dx = | (x+5sinx) dx= |xdx + 5| sinx dx= 1+1 + 5 (- cosx) + C=2 -5cosx + C.

x1+1 x2


Ответ: F(x) = 2 -5cosx + C.


Случайные файлы

Файл
69596.doc
45749.rtf
CBRR4542.DOC
117534.rtf
138289.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.