Новый метод решения кубического уравнения (86385)

Посмотреть архив целиком

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автор: Фильчев Э.Г.


Решение кубического уравнения в системе mn параметров


Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!


Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.


Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид


(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0 ( 1 )


где

x - любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим


(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4+(3c – b2 )2(2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3 + ( 2b3 – 9bc + 27d )2]/27 = 0 ( 2 )


Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение


Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "


1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение


D1 = - = - (2mn)12 ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32


2. Определяем значение


D2 = - 2( 3c – b2 ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.


3. Определяем значение корней исходного уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)2( 2mn)3


Задача решена !


Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров


x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0


где a =1, b = - 9, c = 23, d = -15


Решение

1. Определяем значение D1 = = -





-→ D1 = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0


2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.


3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X1 = 3 + 2 = 5 , X2 = 3 - 2 = 1

Здесь X1 = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X2 = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X2 = 3

Здесь X = 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!





Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154


Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400


2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( - 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.

2.1 32 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400

2.2 42 ∙ 52 ∙ 92 = 32400 . Этот вариант подходит!

-→ (2mn)11 = 4, (2mn)12 = - 4,

(2mn)21 = 5, (2mn)22 = - 5,

(2mn)31 = 9, (2mn)32 = - 9.


3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X1 = 7, X2 =





4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)12 = - 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X2 - X3) -→ X3 = X2 - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.

Расчет закончен !


Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров


x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0


где a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130


Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996


2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72 ∙ 112 182 = 1920996

-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 = - 7,

(2mn)21 = 11, (2mn)22 = - 11,

(2mn)31 = 18, (2mn)32 = - 18.


3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X1 = , X2 = 2 – это один из корней исходного уравнения!


4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)12 = - 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 2, X2 = - 5, X3 = 13.

Расчет закончен !


Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.



Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D1 = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500


2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2 . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .

При этом значение степени k должно определяться

- для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )

- для D1 = 3∙ (число знаков в мантиссе для D2 ). -→ k1 = 3∙ k2 ( для данного примера k1 = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D11 = 987539062500

- D21 = 132950.


3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

- найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Вариант D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D11 = 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152

D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152.


4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1 и k2 . Совершая обратную операцию, получим

(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = - 2.5,

(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = - 2.65,

(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = - 0.15.


5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X1 = 4 – это один из корней исходного уравнения!


6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 4, X2 = 1.5, X3 = 1.35.

Расчет закончен !



Неприводимый случай формулы Кардана


Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.


Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D2 = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],

где

- (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения

- D1 = -

- D2 = - 2( 3c – b2 )

- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два сопряженных мнимых корня X2 = ( g2 - hi), X3 = ( g2 + hi). Тогда

(2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) + hi

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – hi

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - hi - g2 – hi = - 2hi

-→ D1 = - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 - g2 ) - hi]2[2 hi]2


-→ D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем


1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам


D1 = -

D2 = - 2( 3c - b2 )

определяются значения D1 и D2.


2. Определяются D1 - как произведение двух квадратов

D2 - как удвоенная сумма двух квадратов.


3. Определяются значения g1, g2,h.





4. Определяются значения (2mn)11, (2mn)21, (2mn)31


5. Определяются значения корней исходного уравнения.


Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров


x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0


где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.



Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344


Случайные файлы

Файл
2067.rtf
100850.rtf
69118.rtf
240-0954.DOC
5167-1.rtf