Общий курс высшей математики (86356)

Посмотреть архив целиком

Академия труда и социальных отношений

Курганский филиал


Социально-экономический факультет




КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА




по дисциплине: «Общий курс высшей математики»






Студент гр. ЗМб 1338


Ст. преподаватель









Курган – 2009


Задание 03


В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), . Сделать чертеж.

Решение:

Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:


12(y-2)=16(x-4);

12y-24=16х-64

16х-12у-40=0 /:4


4х-3у-10=0 – уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.

Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:


-3y=-10-4х;

3y=4x-10;

y= откуда k А С=


Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен


КВD =


Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом КBD.

В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:


Е (10;10)


Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде


у – yE= КВD (x-xE)

y-10= (x-10);

y-10=x+ / 4

4у-40=-3х+30

3х+4у-70=0 – уравнение диагонали BD


Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты КАВ = КCD и КВС = КAD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.

Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой , позволяющей вычислять тангенс угла φ между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К1 и К2; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К1х + b1 до прямой у = К2х + b2. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент КАС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ().

Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив из формулы для тангенса двойного угла при найдем tg φ:



Положим z = tg φ; тогда , тогда


15 2z = 8 (1-z2)

30z=8-8z2

8z2+30z-8=0 /:2

4z2+15z-4=0

D=152-4 4 (-4)= 225+64=289

z1=;

z2=


Но т.к. угол в ромбе φ всегда острый корень z2=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ =

Угол φ является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (см. чертеж).

Потому в первом случае по формуле имеем

откуда при то получим


4()=1+;

= /3

16-12 KBC=3+4KBC;

16 KBC=13;

KBC=


Во втором случае по формуле имеем =;

При КАС = получим:


;

4(KcD-)=1+KcD;

4KcD-=1+ KcD / 3;

12KcD-16=3+4KcD;

8KcD =19

KcD=


Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.


КCD = KAB = ;

KBC = KAD = .


Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ: у – уA = KA B (х – хA),


у -2 = (х-4) /8;

8у-16=19х-76;

19 х-8 у-60=0.


Уравнение CD: у – уC= КCD(х – xC)


у -18= ( х-16) / 8;

8у -144=19х-304;

19 х-8 у-160=0.


Уравнение ВС: у – уC= КBC ( х xC);


у -18=( х - 16);

у - 18= х – 13 / 16;

16у -288 = 13х - 208;

13х -16 у +80=0


Уравнение AD: у – уA = КAD( х -xA);


у -2=( х -4);

у -2= х - /16;

16у -32= 13х-52;

13х-16у-20=0


Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдем путем совместного решения уравнений этих сторон.


19х -8у -60 = 0 / (-2)

13х -16у +80= 0

-38х+16у+120=0

13х-16у+80=0

-25х = - 200

х = 8

13 8 -16у+80=0

104-16у+80=0

16у=184

у=11,5 т.В (8;11,5)


Для вершины D:


19х -8у +-160 = 0 / (-2)

13x - 16 y – 20 = 0

-38х + 16у +320 = 0

13x - 16 y – 20 = 0

-25х = - 300

х=12

13 12 - 16у-20 = 0

156 -16 у-20=0

16у – 136

у=8,5 т.D (12;8,5)


Координаты этих точек удовлетворяют ранее найденному уравнению 3х + 4у - 70 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность.

Площадь ромба вычислим по формуле S = ½ d1d2, где d1 и d2 – диагонали ромба.

Полагая d1 = |АС|, а d2 = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:


d1 =

d2 =


В итоге площадь ромба будет равна S = ∙ 20 ∙ 5 = 50 кв.ед.

Ответ:


АС: 4х - 3у - 10 = 0;

BD: 3х + 4у - 70= 0;

АВ: 19х -8у -60 = 0;

CD:19 х -8у - 160 = 0;

ВС: 13х -16у + 80 = 0;

AD: 13х -16у – 20=0;

В (8;11,5);

D (12; 8,5);

S = 50 кв.ед.


Задание 27


Найти предел


а)


Решение:

а) Функция, предел которой при х→ 2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ 2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:


===

==

2 х 2 - 3 х - 2=0

D=3 2 -42(-2)=9+16=25

х1 == =2;

х2 = == -

==

===12,5


Ответ: 12,5


б)


Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:


==

=

==

+=


Найдем каждый сомножитель.


====

+)=(=1+1=2.


Предел есть первый замечательный предел.

Таким образом.

после замены t=3x будет равен =3

Аналогично =5

Получим


=

1


В итоге получим:

Ответ:


в)


Преобразуем основание данной функции:



Ведем новую переменную t= , тогда


t (4x-1) = 2

4xt – t = 2

4xt =2 + t

x=

x=


Заметим, что предел функции t при x → ∞ равен нулю т.е t → 0 при x → ∞. Следовательно


===

=


Воспользуемся теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции, вторым замечательным пределом получим.



Ответ:


г)


Представим выражение под знаком предела в виде


===

==


Найдем значение каждого предела:


==1

= - ln e следствие из второго замечательного предела.

=3=3 1=3


В итоге получим


=1= =


Ответ:



Задание 50


Найти производную функции


а)


Решение:

при решении будем применять правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.


=

==

=

б)

+

+=+=

= +=+

в)


Решение:


г)

==

=-

=- =-

-=-

==


Задание 73


Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln в точке x1 заменив приращение функции в точке х0 = 0 ее дифференциалом. Если известно a=8; b=13; c=21;x1=0.013

Решение:

Если приращение аргумента ∆х = х1 – х0 достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции ∆f = f (x1) – f (x0) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула


f (x0 + x) ≈ f (x0) + f / (x0) x.


Для вычисления приближенного значения функции у = ln в точке х1 = 0,013 вычислим производную этой функции в точке х0 = 0:


f / (x) = = =

==

f / (x) = f / (0) = ==-1


Подставив в формулу получим; f (0,013) =-0,013

Ответ: -0,013


Задание 96


Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал (-∞; +∞), так как выражение


f (x) =


в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.

2. Как элементарная функция, данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.

3. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси формула

Для отыскания наклонной асимптоты при х→ +∞ вычислим следующие два предела k = lim y/x и b = lim (ykx)

Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x)


Случайные файлы

Файл
28579.rtf
65356.rtf
35865.rtf
79035.rtf
1847-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.